Zadanie z: moment statyczny, środek ciężkości i gęstość

[Mucha44]

Obliczyć moment statyczny względem osi \(\displaystyle{ Ox}\) i \(\displaystyle{ Oy}\) oraz współrzędne środka ciężkości obszaru płaskiego ograniczonego przez: \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x)}\) i oś \(\displaystyle{ Ox}\) dla \(\displaystyle{ x ∈ \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]}\) zakładając, że gęstość tej krzywej wynosi: \(\displaystyle{ g = 2}\).

Z góry dziękuję za pomoc!

[janusz47]

\(\displaystyle{ M_{x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin(x) \sqrt{ 1 + [-\cos(x)]^2}dx }\)

\(\displaystyle{ M_{y} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sqrt{1 + [-\cos(x)]^2} dx }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{M_{y}}{m}, \ \ y_{0} = \frac{M_{x}}{m} }\)

\(\displaystyle{ m = \rho \cdot |V| }\)

\(\displaystyle{ m = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) dx .}\)

[a4karo]

Ale zamotales: masa to całka z kwadratu?
I nie chodzi o drut, tylko o obszar

[janusz47]

Poprawa

\(\displaystyle{ M_{x} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sin(x)} \sin(x) dy dx,}\)

\(\displaystyle{ M_{y} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sin(x)} x dy dx. }\)

Dodano po 4 minutach 54 sekundach:
Dziękuję za zwrócenie uwagi.

[Mucha44]

Proszę o rozwiązanie bez całek podwójnych.

Z góry dziękuję!

[janusz47]

To są elementarne całki.