Poszukuję dowodu następującego faktu:
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją ciągłą na kuli \(\displaystyle{ B(x_0,R)\subset \mathbb{R}^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{B(x_0,R)} f(x)\mbox{d}x=\int_{0}^R \left(\int_{\partial B(x_0,r)} f(x)\mbox{d}S(x)\right)\mbox{d}r}\).
Generalnie nie mam żadnego pomysłu też jak ten dowód przeprowadzić samemu. Za wszelką pomoc będę wdzięczny.
Całka po kuli
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Całka po kuli
Być może to będzie pomocne szczególną uwagę zwróć na pierwszą odpowiedź i komentarz:
As you can see, nothing here uses the fact that we have a sphere. This argument is equally valid for any family of objects parametrised by a single parameter r
formalnie nie umiem tego udowodnić ale skojarzyło mi się to własnie z faktem, że \(\displaystyle{ \frac{ \dd V}{ \dd r} = S(r)}\) więc \(\displaystyle{ f(r) \dd V= f(r)S(r) \dd r}\).
PS to tylko taka luźna uwaga. Jak się nie przyda to trudno.
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/3093400/is-it-simply-a-coincidence-that-if-you-differentiate-the-formula-for-the-volume?noredirect=1&lq=1
As you can see, nothing here uses the fact that we have a sphere. This argument is equally valid for any family of objects parametrised by a single parameter r
formalnie nie umiem tego udowodnić ale skojarzyło mi się to własnie z faktem, że \(\displaystyle{ \frac{ \dd V}{ \dd r} = S(r)}\) więc \(\displaystyle{ f(r) \dd V= f(r)S(r) \dd r}\).
PS to tylko taka luźna uwaga. Jak się nie przyda to trudno.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Całka po kuli
Patrz twierdzenie Coarea na przykład tutaj
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Coarea_formula
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Całka po kuli
Dasio11, całka po kuli to całka względem \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej miary Lebesgue'a, natomiast całkę po sferze rozumiemy jako całkę względem miary powierzchniowej.