Całka nieoznaczona

[Xardas962]

Oblicz całkę nieoznaczoną.
\(\displaystyle{ \int \cos^3x \sin x \, \dd x}\)
Prosiłbym o rozpisanie krok po kroku. Niestety nie ogarniam metody przez części i mam nadzieję, że może na przykładzie uda mi się to pojąć. Do tej pory zrozumiałem tylko przykłady z \(\displaystyle{ e^{x}}\) , no ale one są prostsze, bo pochodna jest taka sama.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \int \cos^{3}x\sin x\mbox{d}x=\left|\begin{array}{cc}t=\cos x\\\mbox{d}t=-\sin x\mbox{d}x\end{array}\right|=\int -t^{3}\mbox{d}t=-\frac{1}{4}t^{4}+C=-\frac{1}{4}\cos^{4}x+C}\)

[Xardas962]

Dzięki. Myślałem, że to trzeba zrobić metodą przez części.

[a4karo]

Przez części też można:
\(\displaystyle{ \red{\int\cos^3x\sin xdx}=\begin{bmatrix}u=\cos^3x& v'=\sin x\\u'=-3\cos^2x\sin x&v=-\cos x\end{bmatrix}=-\cos^4x-3\red{\int\cos^3x\sin xdx}
}\)

[Xardas962]

Dzięki. Już ogarnąłem tę metodę przez części. Niestety za rogiem czyha na mnie kolejna metoda, czyli przez ułamki. Mam taki przykład.
\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{(x+3)(x-2)}dx= \int\frac{x+1}{ x^{2}+x-6 }dx }\)

W tym momencie zauważam, że pochodna mianownika jest podobna do licznika.

\(\displaystyle{ (x^{2}+x-6)'=2x+1 }\)

\(\displaystyle{ \int\frac{ \frac{1}{2} (2x+1)+ \frac{1}{2} }{x^{2}+x-6 }dx= \frac{1}{2} \left( \int \frac{2x+1}{ x^{2}+x-6 }dx+\int \frac{1}{ x^{2}+x-6 }dx\right) = \frac{1}{2}( I _{1} +I _{2} )
}\)

\(\displaystyle{ I_{1}= \ln\left| x^{2}+x-6 \right| }\)

Niestety nie wiem jak policzyć \(\displaystyle{ I_2}\). Pomożecie?

[Premislav]

Masz drobny błąd, powinno być \(\displaystyle{ (x+3)(x-2)=x^{2}+x\red{-6}}\)

Aczkolwiek wymnażanie tego nie jest zbyt sensowne. Ja bym raczej szedł w stronę rozkładu na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}}\)
Stąd mamy
\(\displaystyle{ A(x+3)+B(x-2)=x+1\\\begin{cases}A+B=1\\3A-2B=1\end{cases}\\ A=\frac{3}{5}, \ B=\frac{2}{5}\\\int\left(\frac{\frac{3}{5}}{x-2}+\frac{\frac{2}{5}}{x+3}\right)\mbox{d}x=\ldots}\)

Dodano po 2 minutach 1 sekundzie:
W ogóle skoro się zabierasz za takie całki, to ten wątek może być przydatny: Rozkład na ułamki proste - przykłady

[Xardas962]

Mam kolejny problem z całką. Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \frac{6x^3+4x+1}{x^4+x^2}=\frac{6x^3+4x+1}{x^2(x^2+1)}= \frac{Ax+B}{x^2+1}+ \frac{Cx}{x^2}+ \frac{D}{x}}\)

Czy dobrze rozpisałem ten przykład? Po wymnożeniu wychodzą mi jakieś bzdury. Może już na pierwszym etapie popełniłem błąd. Wcześniej liczyłem zamiast \(\displaystyle{ \frac{Cx}{x^2} to \frac{Cx+E}{x^2}}\), ale wtedy dostawałem 5 niewiadomych a tylko cztery równania.

[a4karo]

Rozłożyłeś źle. Powinno być `C/x^2`

[Xardas962]

Mam problem z całką funkcji niewymiernej. \(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}+1 }{ \sqrt{3x+1} }=
\left| t^2=3x+1 \right|
\left| 2tdt=3dx \right|}\)
Jak mam się pozbyć tego \(\displaystyle{ x^2}\) z licznika?

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ t^{2}=3x+1}\), to \(\displaystyle{ x=\frac{t^{2}-1}{3}, \ x^{2}=\left(\frac{t^{2}-1}{3}\right)^{2}}\)

[Xardas962]

Mam taką całkę.
\(\displaystyle{ \int \frac{6x+5}{ \sqrt{6+x-x^2} }dx=\int \frac{6x+5}{ \frac{25}{4}-(x- \frac{1}{2} )^2 }dx=\left| t=x- \frac{1}{2} \right|=\int \frac{6t+8}{ \sqrt{ \frac{25}{4}-t^2} }dt }\)
Podpowiecie co dalej?

[Premislav]

Tam chyba zgubiłeś pierwiastek w pierwszej równości, ale dalej jest dobrze. Można z tą całką postąpić na różne sposoby, na przykład zastosować drugie podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \int \frac{6t+8}{\sqrt{\frac{25}{4}-t^{2}}}\mbox{d}t=\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{25}{4}-t^{2}}=ut+\frac{5}{2}\\t=-\frac{5u}{1+u^{2}}\\\mbox{d}t=\frac{5\left(u^{2}-1\right)}{\left(1+u^{2}\right)^{2}}\mbox{d}u\end{array}\right|=\int \frac{-\frac{30u}{1+u^{2}}+8}{-\frac{5u
^{2}}{1+u^{2}}+\frac{5}{2}}\cdot \frac{5\left(u^{2}-1\right)}{\left(1+u^{2}\right)^{2}} \mbox{d}u}\)
i dalej po uproszczeniach masz nie za trudną całkę z funkcji wymiernej.

Inna opcja to rozbicie na sumę dwóch całek, z których jedną rozwiązujesz podstawieniem \(\displaystyle{ t=\frac{25}{4}-u^{2}}\), zaś druga sprowadza się do arkusa sinusa, wszak
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}=\arcsin\left(\frac{t}{a}\right)+C, \ a>0}\)

[Xardas962]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+2x+2} }dx= \int \frac{x^2}{ \sqrt{(x+1)^2+1} }dx=\left|t=x+1 \right|= \int \frac{(t-1)^2}{ \sqrt{t^2+1} }dt }\)

Nie mam pojęcia co tu dalej zrobić...

[a4karo]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+2x+2} }dx= \int \frac{x^2}{ \sqrt{(x+1)^2+1} }dx=\left|t=x+1 \right|= \int \frac{(t-1)^2}{ \sqrt{t^2+1} }dt \\
=\int \frac{(t^2+1}{ \sqrt{t^2+1} }dt-\int \frac{(2t}{ \sqrt{t^2+1} }dt}\)

Nie mam pojęcia co tu dalej zrobić...

\(\displaystyle{ =\int \frac{t^2+1}{ \sqrt{t^2+1} }dt-\int \frac{2t}{ \sqrt{t^2+1} }dt}\)

Pierwszą przez części z jedynką drugą oczywistym podstawieniem

[Xardas962]

Przy metodzie współczynników nieoznaczonych mam taki przykład.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x+2) \sqrt{4-x^2} } }\)
W jaki sposób przekształcić go do \(\displaystyle{ \int \frac{ W_{n}(x) }{ax^2+bx+c}}\), aby móc z tej metody skorzystać?