Całka

[Arek189]

Witam czy całka ta jest poprawnie rozwiązana??

\(\displaystyle{ \iint_{D} 3y+x \ \dd x \dd y = \lim_{T\to 1} \left( \int\limits_{0}^{T} x \ \dd x \right) \left( \int\limits_{0}^{T} 3y \ \dd y \right) = \lim_{T \to 1} \left( \frac{x^2}{2} \Bigg|_0^T \right) + \left( \frac{3y^2}{2} \Bigg|_0^T \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2}\)

\(\displaystyle{ x \ge 0 \\[1ex]
y \ge 0 \\[1ex]
x^2 +y^2 \le 1}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[a4karo]

Przeciez całka z sumy to nie iloczyn całek.
A poza tym całkujesz po kwadracie a nie po ćwiartce okręgu

[Arek189]

To jak to powinno wyglądać??

[janusz47]

Całkujemy po pierwszej ćwiartce jednostkowego koła.

Najłatwiej obliczymy całkę, gdy zastosujemy współrzędne biegunowe.

Co to są współrzędne biegunowe?

[Arek189]

To jest moja pierwsza z całek podwójnych i chciałbym żeby ktoś w przystępny sposób mi ją wytłumaczył

Dodano po 15 sekundach:
Z góry dziękuje za pomoc

[janusz47]

Całka we współrzędnych biegunowych

Dla każdego zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A \subset \RR^2 }\) oraz każdej funkcji całkowalnej \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR^2 }\)

mamy

\(\displaystyle{ \iint_{(A)} f(x,y)dx dy = \iint_{\phi^{-1}(A)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta))dr d\theta. }\)


Nasza całka we współrzędnych biegunowych

\(\displaystyle{ \iint_{(D)} (3y + x)dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} (3r\sin(\theta) + r\cos(\theta)) r dr d \theta }\)

Obliczamy najpierw całkę wewnętrzną

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{0}^{1} (3r \sin(\theta) + r\cos(\theta)) r dr = \int_{0}^{1} (3r^{2} \sin(\theta)+ r^{2} \cos(\theta))dr = \frac{3r^{3}}{3}\sin(\theta)+ \frac{r^{3}}{3}\cos(\theta) |_{0}^{1} = \sin(\theta) + \frac{1}{3}\cos(\theta)}\)

Obliczamy całkę zewnętrzną

\(\displaystyle{ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left [\sin(\theta) + \frac{1}{3}\cos(\theta) \right ] d \theta = -\cos(\theta) + \frac{1}{3}\sin(\theta) \mid_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{3}\sin\left (\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) - \frac{1}{3}\sin(0) = 0 +\frac{1}{3} + 1 - 0 = 1\frac{1}{3}. }\)

[Arek189]

Bardzo dziękuje

[a4karo]

Całka we współrzędnych biegunowych

Dla każdego zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A \subset \RR^2 }\) oraz każdej funkcji całkowalnej \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR^2 }\)

mamy

\(\displaystyle{ \iint_{(A)} f(x,y)dx dy = \iint_{\phi^{-1}(A)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta))dr d\theta. }\)


. [/latex]

Jak byś jeszcze powiedział czym jest `\phi` i nie zapomniał o jakobianie...

[janusz47]

Współrzędne biegunowe

\(\displaystyle{ \phi }\) jest odwzorowaniem \(\displaystyle{ (0, \infty) \times (0,2\pi) \rightarrow \RR^2 }\) danym wzorem:

\(\displaystyle{ \phi(r, \theta) = (r\cos(\phi), r\sin(\phi)) }\)

Macierz Jacobiego jest postaci:

\(\displaystyle{ \phi'(r, \theta) = \left[\begin{matrix} \cos(\theta)& -r\sin(\theta)\\ \sin(\theta)& r\cos(\theta) \end{matrix}\right] }\)

Jakobian - wyznacznik macierzy Jacobiego

\(\displaystyle{ \det(\phi'(r, \theta)) = r\cos^2(\theta)+ r\sin^2(\theta) = r(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)) = r.}\)

[a4karo]

Jeszcze tylko popraw wzór

[janusz47]

Proszę poprawić.