Całka nieoznaczona

[Atorita]

Witam, czy potrafiłby ktoś pomóc mi z następującą całką?
Podchodziłam do niej kilkukrotnie i za każdym razem wychodzi nie taki wynik jak powinien:
\(\displaystyle{ \int \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x(x^2+1)}dx }\)
Autor widzi odpowiedź \(\displaystyle{ \ln\left| \dfrac{-1+ \sqrt{x^2+1} }{x}\right|}\)

[Janusz Tracz]

Podchodziłam do niej kilkukrotnie i za każdym razem wychodzi nie taki wynik jak powinien

Pokaż obliczenia bo może wynik się zgadza tylko jego postać jest inna. A ogólnie to całkę można potraktować podstawieniem Eulera \(\displaystyle{ x+ \sqrt{x^2+1}=t }\)

[Atorita]

\(\displaystyle{ \int \dfrac{ \sqrt{x^2+1}}{x(x^2+1)}dx \stackrel{ \substack{t = \sqrt{x^2+1} \\ \frac{dt}{x} = \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \,dx} }{=} \int \frac{t}{xt} \cdot \frac{dt}{x}=\int\dfrac{dt}{x^2}=\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\ln| \frac{ \sqrt{x^2+1}-1 }{\sqrt{x^2+1}-1} |+C }\)

Próbowałam to jakoś uprościć ale bezskutecznie

[Premislav]

Szczerze to nie rozumiem żadnego z tych przejść. Pewnie to kwestia tego, że mieszasz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ t}\) w całce, po podstawieniu nie powinno tu być żadnego \(\displaystyle{ x}\).

Stosowane przez Ciebie podstawienie nie jest typowe (typowo to się liczy, podstawiając arkusa tangensa bądź używając, jak pisał Janusz Tracz, pierwszego podstawienia Eulera), ale to nie przeszkadza, tylko trzeba poprawnie wdrożyć to podstawienie, a nie jak najwyraźniej Ty:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x\left(x^{2}+1\right)}\mbox{d}x=\int \frac{x}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{d}x=\left|\begin{array}{cc}t=\sqrt{x^{2}+1}\\\mbox{d}t=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{d}x\end{array}\right|=\int \frac{\mbox{d}t}{t^{2}-1}\\=\int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\mbox{d}t=\frac{1}{2}\ln|t-1|-\frac{1}{2}\ln|t+1|+C=\ln \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+1}+1}}+C}\)

BTW Nie należy się przejmować tym, że w odpowiedziach jest inaczej wyglądający wynik, w celu sprawdzenia lepiej zróżniczkować swój wynik i sprawdzić, czy dos\stajesz funkcję podcałkową.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x\left(x^{2}+1\right)}\mbox{d}x=\int \frac{x}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{d}x=\dots=\ln \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+1}+1}}+C}\)

\(\displaystyle{ =\ln \sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-1)^2}{(\sqrt{x^{2}+1}+1)(\sqrt{x^{2}+1}-1)}}+C=\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}\right|+C}\)

[Atorita]

Dodano po 2 minutach 47 sekundach:
Idealnie, dziękuję bardzo, chyba za dużo całek wczoraj poszło, żeby na to wpaść Niestety mój błąd pojawił się też przy przepisywaniu z kartki, w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ t^2-1}\) przed wynikiem a w wyniku \(\displaystyle{ \frac12\ln}\)... .

[Mariusz M]

Już w odpowiedzi jest wskazówka co do sposobu obliczenia tej całki

Tutaj drugie podstawienie Eulera lepiej się sprawdzi

Przemysław podstawienie sugerowane przez tych co podali odpowiedź też jest typowe w tych całkach