Całka Ito

[janusz47]

Jaka jest postać całkowej funkcji błędów?

[buncolgit]

Jaka jest postać całkowej funkcji błędów?

\(\displaystyle{ erf(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-x}^{x}e^{-t^2}dt}\)

Nie rozumiem jak ona się ma do mojej całki którą musze policzyc. Moglbys to rozpisac jak nalezy to zrobic z uzyciem tej funkcji? I w ktorym miejscu w moim zapisie jest blad?

[janusz47]

Napisałem rozwiązanie.

[buncolgit]

\(\displaystyle{ \varepsilon^{-2\lambda}\int_{0}^{1} e^{-\frac{t^2}{\epsilon}} dt = \varepsilon^{-2\lambda} \left(\frac{1}{2} \sqrt{π \varepsilon}\ erf\left (\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right )\right) }\)

i granica

\(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon→ 0+} \frac{1}{2} \varepsilon^{-2\lambda} \sqrt{π \varepsilon}\cdot erf(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}) = 0, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lambda <0. }\)

Skoro
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(\int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dW_t)^2=\mathbb{E}(\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}}}dt)}=\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}\mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})dt}}}\)

to porównujac to co mi wychodzi a to co Ty proponujesz wychodzi na to że
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{-x^2}{\varepsilon}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2t\pi}}\cdot e^{\frac{-x^2}{2t}}dx= e^{\frac{-t^2}{\varepsilon}}}\)

I funkcje \(\displaystyle{ erf(x)}\) stosujesz dla całki od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\). Tylko jak policzyc ta wartosc oczekiwana? Tylko tego mi brakuje. Tez z tej funkcji? Calka jest po calym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Dodano po 2 godzinach 2 minutach 39 sekundach:
A nie można przez podstawienie tego policzyć w taki sposób (wyrzucic ten pierwiastek przed calke i policzyc tylko):
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}e^{\frac{-x^2}{\varepsilon}}\cdot e^{\frac{-x^2}{2t}}=\int_{\mathbb{R}}e^{\frac{-x^2(2t+\varepsilon)}{2t\varepsilon}}}\)
podstawić \(\displaystyle{ u=\frac{x\sqrt{2t+\varepsilon}}{\sqrt{2t\varepsilon}}}\)
i wtedy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2t\varepsilon}}{\sqrt{2t+\varepsilon}}\int_{\mathbb{R}}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{2t\varepsilon \pi}}{\sqrt{2t+\varepsilon}}}\)

i to sie skroci z tym wyrzuconym przed calke \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2t\pi}}}\) i zostanie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{2t+\varepsilon}}}\)

tylko to i tak nie bedzie to co Tobie wyszło. Moim sposobem ostatecznie wyszłoby:
\(\displaystyle{ \varepsilon^{-2\lambda}(\sqrt{2+\varepsilon}-\sqrt{\varepsilon})}\) i odpowiedz bylaby ze granica nie zbiega do 0 tylko dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\). Gdzie mam blad jesli jest?

Dodano po 39 minutach 8 sekundach:
EDIT odpowiedz bedzie jednak ze zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ \lambda<\frac{1}{4}}\) czyli prawie to co Tobie wyszlo, tylko u mnie doszla \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do wykładnika \(\displaystyle{ e}\)

Dodano po 7 godzinach 8 minutach 42 sekundach:

Napisałem rozwiązanie.

Dzięki za poświęcony czas Czy polecasz jakieś książki z licznymi zadaniami i rozwiązaniami z liczenia całek stochastycznych?