Całka Ito

[buncolgit]

Hej mam wyznaczyć rzeczywiste wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{-W_t^2/(2\varepsilon)}dW_t\to 0 }\) w \(\displaystyle{ L^2(\Omega)}\) gdy \(\displaystyle{ \varepsilon\to 0^+}\). Pomoże ktoś?

Dodano po 2 dniach 18 godzinach 37 minutach 34 sekundach:
hmm? Ktoś ma pomysł?

Dodano po 1 dniu 23 godzinach 37 minutach 38 sekundach:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dW_t)^2=.\mathbb{E}(\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dt=\varepsilon^{-2\lambda}\int_0^1\mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}})dt=\frac{1}{2}\varepsilon^{-2\lambda+1}e^\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon}}\)

Jaki z tego wniosek? I czy to w ogóle jest poprawnie liczone?

[janusz47]

Proszę poprawić w sensie normy kwadrat funkcji podcałkowej na \(\displaystyle{ E \left( \int_{0}^{1} e^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t} \right)}\)

Korzystamy z własności izometrycznej całki \(\displaystyle{ It\hat{o} }\)

\(\displaystyle{ E\left( \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t}\right) = \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt = \varepsilon^{-2\lambda} \int_{0}^{1}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt \ \ (1)}\)

Proszę

- obliczyć całkę \(\displaystyle{ (1), }\)

- znaleźć wartość granicy \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0+} F(\varepsilon, \lambda). }\)

[buncolgit]

Proszę poprawić w sensie normy kwadrat funkcji podcałkowej na \(\displaystyle{ E \left( \int_{0}^{1} e^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t} \right)}\)


Trochę nie rozumiem, liczymy zbieżność w \(\displaystyle{ L^2(\Omega)}\) czyli powinniśmy chyba policzyć \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(\int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dW_t)^2=\mathbb{E}(\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}}}dt)}\) gdzie korzystam z izometrii, czyli podnoszę funkcję pod całką do kwadratu. Nie wiem dlaczego u Ciebie zniknął kwadrat przy \(\displaystyle{ -W_t}\) i zostało na końcu \(\displaystyle{ dW_t}\)

Korzystamy z własności izometrycznej całki \(\displaystyle{ It\hat{o} }\)

\(\displaystyle{ E\left( \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t}\right) = \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt = \varepsilon^{-2\lambda} \int_{0}^{1}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt \ \ (1)}\)

Proszę

- obliczyć całkę \(\displaystyle{ (1), }\)

- znaleźć wartość granicy \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0+} F(\varepsilon, \lambda). }\)

[janusz47]

Tak zjadłem kwadrat.

[buncolgit]

Tak zjadłem kwadrat.

Więc liczę:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(\int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dW_t)^2=\mathbb{E}(\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}}}dt)}=\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}\mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})dt}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{-x^2}{\varepsilon}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2t\pi}}\cdot e^{\frac{-x^2}{2t}}dx=...}\) i tutaj całka mi się psuje i ciężko to policzyc Gdzies mam blad czy trzeba to jakos wyliczyc?

[janusz47]

To jest całka z funkcji \(\displaystyle{ erf\left( \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right). }\)

[buncolgit]

To jest całka z funkcji \(\displaystyle{ erf\left( \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right). }\)

Pierwsze słyszę o takiej funkcji Nie sadze zebysmy dostali zadanie w ktorym trzeba korzystac z takiej funkcji. Czy wszystkie moje przejscia sa ok faktycznie chcac to doliczyc trzeba korzystac z tej funkcji (a jesli tak to moglbys to zrobic?) czy gdzies popelnilem blad? Polecenie jest przepisane ok jbc takze nie tu tkwi problem.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \varepsilon^{-2\lambda}\int_{0}^{1} e^{-\frac{t^2}{\epsilon}} dt = \varepsilon^{-2\lambda} \left(\frac{1}{2} \sqrt{π \varepsilon}\ erf\left (\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right )\right) }\)

i granica

\(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon→ 0+} \frac{1}{2} \varepsilon^{-2\lambda} \sqrt{π \varepsilon}\cdot erf(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}) = 0, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lambda <0. }\)

[buncolgit]

\(\displaystyle{ \varepsilon^{-2\lambda}\int_{0}^{1} e^{-\frac{t^2}{\epsilon}} dt = \varepsilon^{-2\lambda} \left(\frac{1}{2} \sqrt{π \varepsilon}\ erf\left (\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right )\right) }\)

i granica

\(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon→ 0+} \frac{1}{2} \varepsilon^{-2\lambda} \sqrt{π \varepsilon}\cdot erf(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}) = 0, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lambda <0. }\)

Tylko nie rozumiem skąd u Ciebie wzięła się ta całka
\(\displaystyle{ \varepsilon^{-2\lambda}\int_{0}^{1} e^{-\frac{t^2}{\varepsilon}} dt }\)

Skoro moje rozumowanie utknęło na liczeniu wartości oczekiwanej ktorej u Ciebie nie ma

[janusz47]

Z własności całki stochastycznej.

Patrz na przykład

H.P. McKEAN, Jr. STOCHASTICS INTEGRALS. \(\displaystyle{ It\hat{o} }\) definition page 21. The Rockefeler University New York Academic Press. 1969

[buncolgit]

Z własności całki stochastycznej.

Patrz na przykład

H.P. McKEAN, Jr. STOCHASTICS INTEGRALS. \(\displaystyle{ It\hat{o} }\) definition page 21. The Rockefeler University New York Academic Press. 1969

Tylko u nas ta funkcja \(\displaystyle{ e(t)=e^{\frac{-t^2}{2\varepsilon}}}\) tak? Bo gdyby miało być \(\displaystyle{ e(t)=e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}}\) to byłoby bez sensu, tylko teraz czemu zamiast \(\displaystyle{ W_t}\) jest \(\displaystyle{ t}\)? Bo nie rozumiem

[janusz47]

A jak licząc kowariancję przeszedłeś z \(\displaystyle{ dW_{t}}\) na \(\displaystyle{ s }\)? Tutaj w sensie normy keadratowej zastosowaliśmy to samo, w odniesieniu do czasu \(\displaystyle{ t. }\)

Co oznacza \(\displaystyle{ W_{t} }\) i różniczka \(\displaystyle{ dW(t)}\), jakie są własności tych obiektów, biorąc ich iloczyn skalarny?

[buncolgit]

Już nic nie rozumiem. Podsumujmy

Proszę poprawić w sensie normy kwadrat funkcji podcałkowej na \(\displaystyle{ E \left( \int_{0}^{1} e^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t} \right)}\)

tutaj zamiast \(\displaystyle{ E \left( \int_{0}^{1} e^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t} \right)}\) powinno być \(\displaystyle{ E \left( \int_{0}^{1} e^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}^2}{\epsilon}}dt \right)}\) z Izometrii Ito?


Korzystamy z własności izometrycznej całki \(\displaystyle{ It\hat{o} }\)

\(\displaystyle{ E\left( \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{W_{t}}{\epsilon}}dW_{t}\right) = \int_{0}^{1} \varepsilon^{-2\lambda}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt = \varepsilon^{-2\lambda} \int_{0}^{1}e^{-\frac{t}{\epsilon}}dt \ \ (1)}\)

tego w ogole nie rozumiem skoro wyzej korzystalismy z Izometrii. Dlaczego zostało \(\displaystyle{ dW_t}\) i po znaku rownosci zniknela wartosc oczekiwana i \(\displaystyle{ W_t}\) przszlo na \(\displaystyle{ t}\)? Już pomijajac brak kwadratu przy \(\displaystyle{ W_t}\)

W pełni rozumiem co się dzieje do tej pory:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(\int_{0}^{1} \varepsilon^{-\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{2\varepsilon}}dW_t)^2=\mathbb{E}(\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}}}dt)}=\int_0^1\varepsilon^{-2\lambda}\mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})dt}}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathbb{E}(e^{\frac{-W_t^2}{\varepsilon}})=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{-x^2}{\varepsilon}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2t\pi}}\cdot e^{\frac{-x^2}{2t}}dx=...}
}\) i wykładam sie na tej calce ktorej nawet wolfram mi nie policzy

[janusz47]

Żeby nie "wykładać się na tej całce", zapoznaj się z funkcją całkową błędu - Gaussa. Rozwiązując zadania, dotyczące całek stochastycznych, trudno przejść obok tej całki. Ostatni Twój zapis jest niewłaściwy.

Patrz na przykład

Donald A. McQuarrie MATEMATYKA DLA PRZYRODNIKÓW I INŻYNIERÓW TOM 1. str. 125-130. WYDAWNICTWO NAUKOWE PWN WARSZAWA 2005.

[buncolgit]

Żeby nie "wykładać się na tej całce", zapoznaj się z funkcją całkową błędu - Gaussa. Rozwiązując zadania, dotyczące całek stochastycznych, trudno przejść obok tej całki. Ostatni Twój zapis jest niewłaściwy.

Patrz na przykład

Donald A. McQuarrie MATEMATYKA DLA PRZYRODNIKÓW I INŻYNIERÓW TOM 1. str. 125-130. WYDAWNICTWO NAUKOWE PWN WARSZAWA 2005.

Dlaczego niewłaściwy? Chodzi Ci o wartość oczekiwaną? że zle calke rozpisalem? Nie można tego jakoś oszacować?