Całka niewymierna

[koosc]

Witam. Nie mam pomysłu co można podstawić w tej całce.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ x^{2} } \sqrt{ \frac{1+x}{x} }dx }\)
Pomoże ktoś?

[Premislav]

Zapisz to w postaci
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{1}{x}+1}\mbox{d}x}\) i podstaw \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}+1}\).

[janusz47]

A jeszcze lepiej, podstaw

\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{1}{x} +1} }\)

[JHN]

A jeszcze lepiej, podstaw...

Mając wolny wybór - wybrałbym podstawienie Premislava, oczywiste i natychmiastowe w użyciu...

Pozdrawiam

[janusz47]

A ja wolałbym swoje, bo nie liczę całki z pierwiastka kwadratowego.

[koosc]

Dziękuję za odpowiedzi, wyszło,

jeszcze prosiłbym o podpowiedź tutaj:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx }\)

[Premislav]

Trzecie podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \sqrt{2+x-x^{2}}=(x+1)t}\)
powinno ją sprowadzić do całki z funkcji wymiernej. Popatrzmy:
\(\displaystyle{ 2+x-x^{2}=t^{2}(x+1)^{2}\\(x+1)(2-x)=t^{2}(x+1)^{2}\\2-x=t^{2}(x+1)\\x=\frac{2-t^{2}}{1+t^{2}}\\ \mbox{d}x=\frac{-6t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} }\)
i dostajesz taką oto całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{\frac{3t}{1+t^{2}}}{\left(\frac{3}{1+t^{2}}\right)^{3}}\cdot \frac{-6t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\mbox{d}t}\)
Nie wygląda tak źle, zwłaszcza gdy uprościsz co się da.

[JHN]

A ja wolałbym swoje, bo nie liczę całki z pierwiastka kwadratowego.

Czyli nic nowego...

A przecież potrzebna, przy tym podstawieniu, do rozwiązania problemu całka ma postać
\(\displaystyle{ -\int t^\frac{1}{2}\mbox{d}t=-\frac{2}{3}t^\frac{3}{2}+C}\)

Miłego dnia
PS.
Nasze posty powinny pomagać userom zadającym pytania, a przynajmniej im nie plątać w głowie...

[janusz47]

Lepiej podstawić pełen pierwiastek i potem podnieść obustronnie podstawienie do kwadratu, niż samo wyrażenie podpierwiastkowe.

[Premislav]

A mogę wiedzieć, dlaczego lepiej? Nie pytam złośliwie. Może czegoś się nauczę…

[janusz47]

Nie potrzeba podstawień Eulera, można uprościć funkcję podcalkową i sprowadzić obliczenie całki do całki z prostej funkcji wymiernej:

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2 +x -x^2}}{(x+1)^3}dx }\)

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2 + x - x^2}}{ (x+1)^3} dx = \int \frac{\sqrt{-(x-2)(x+1)}}{(x+1)^3}dx \int \frac{\sqrt{-(x-2)}}{x+ 1}dx = [\sqrt{-(x-2)} = t] = \int \frac{2t}{t^2 -3}dt ... }\)

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę dwóch ułamków prostych.

Wolę obliczać całki \(\displaystyle{ \int t dt }\) niż \(\displaystyle{ \int\sqrt{t}dt.}\)

[a4karo]

Nie potrzeba podstawień Eulera, można uprościć funkcję podcalkową i sprowadzić obliczenie całki do całki z prostej funkcji wymiernej:

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2 +x -x^2}}{(x+1)^3}dx }\)

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2 + x - x^2}}{ (x+1)^3} dx = \int \frac{\sqrt{-(x-2)(x+1)}}{(x+1)^3}dx \int \frac{\sqrt{-(x-2)}}{x+ 1}dx = [\sqrt{-(x-2)} = t] = \int \frac{2t}{t^2 -3}dt ... }\)

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę dwóch ułamków prostych.

A jak się te przekształcenia mają do rzeczywistośći?

[janusz47]

Poprawa

\(\displaystyle{ ...\int \frac{\sqrt{\frac{-(x-2)}{x+1}}}{(x+1)^2}dx = \left[\sqrt{\frac{-(x-2)}{x+1}} = t, \ \ -\frac{3}{(x+1)^2} dx = 2tdt \right] = -\frac{2}{3}\int t dt = ... }\)

[Mariusz M]

Trzecie podstawienie Eulera to dobry pomysł ale
można też pobawić się całkowaniem przez części

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }+ \frac{1}{4} \int_{}^{} \frac{1-2x}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} }\dd x \\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x +\frac{3}{4}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
}\)

\(\displaystyle{
\frac{3}{4}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }= \frac{1}{3} \int{ \frac{ \frac{9}{4}-\left( x- \frac{1}{2} \right)^2 }{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } + \frac{1}{3} \int{ \frac{\left( x- \frac{1}{2} \right)^2}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\frac{3}{4}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }= \frac{1}{3} \int{ \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 } \dd x } + \frac{1}{3} \int{ \frac{\left( x- \frac{1}{2} \right)^2}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\frac{3}{4}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}+ \frac{1}{6} \int{ \frac{1-2x}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } + \frac{1}{3} \int{ \frac{\left( x- \frac{1}{2} \right)^2}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\frac{3}{4}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}+ \frac{1}{4} \int{\frac{1-2x}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } \\
}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}+ \frac{1}{4} \int{\frac{1-2x}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }- \frac{1}{2} \int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x}\\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\frac{1}{4} \int{ \frac{4x+1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } \\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\frac{1}{4} \int{ \frac{4x^2+5x+1}{\left( x+1\right)^3 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } \\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\frac{1}{4}\int{\frac{3\left( x+1\right)^2-\left( 2+x-x^2\right) }{\left( x+1\right)^3 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}+ \frac{1}{4} \int{ \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^3 } \dd x } -\frac{3}{4} \int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } \\
\frac{3}{4}\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\frac{3}{4} \int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{2}{3}\cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{4}{9} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
}\)

\(\displaystyle{
\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int{ \frac{x+1}{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int{\frac{\left( 2+x-x^2\right)+\left( x+1\right)\left( x-1\right) }{\left( x+1\right)^2 \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }= \int{ \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 } \dd x }+\int{\frac{x-1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } \\
\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=-\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}+\frac{1}{2} \int{\frac{1-2x}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x } +\frac{1}{2}\int{\frac{2x-2}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=-\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}-\frac{1}{2}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }\\
\frac{3}{2}\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=-\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}\\
\int{ \frac{1}{\left( x+1\right) \sqrt{2+x-x^2} } \dd x }=-\frac{2}{3}\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}\\
}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{2}{3}\cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }- \frac{4}{9} \cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{x+1}-\frac{2}{3}\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}+C\\
\int_{}^{} \frac{ \sqrt{2+x-x^{2} } }{ (x+1)^{3} }dx=-\frac{2}{3}\cdot \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{\left( x+1\right)^2 }+\frac{2}{9}\frac{\sqrt{2+x-x^2}}{x+1}+C\\
}\)