Intuicyjne rozumienie całki z funkcji złożonej

[Mondo]

Witam,

mam problem z intuicyjnym zruzumieniem całki z funkcji złożonej postaci \(\displaystyle{ \int \cos \left( \frac{x}{n} \right) \, \dd x}\)
Wiem iż tego typu całkę najlepiej rozwiązać przez podstawienie \(\displaystyle{ t = \frac{x}{n}}\) i wtedy zmieniacją zmienną całkowania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \dd t = \frac{1}{n} \dd x \rightarrow \dd x = n \, \dd t}\) stąd \(\displaystyle{ \int \cos(t) n \, \dd t = n \cdot \sin(t) = n \cdot \sin \left( \frac{x}{n} \right)}\)

Wszystko super, tylko nie rozumiem intucyjnie dlaczego podzielenie argumentu funkcji podcałkowej przez \(\displaystyle{ n}\)poskutkowało koniecznością pomnożenia wyniku całki(funkcji pierwotnej) przez dokładnie te liczbę \(\displaystyle{ n}\). Co więcej, gdbyśmy zamiast dzielić argument funkcji wymnożyli go przez \(\displaystyle{ n}\) to wynik całki został by podzielony przez te liczbę i to niezależnie od funkcji podcałkowej \(\displaystyle{ \sin(x) / \cos(x) / e^x}\)... Dlaczego tak jest? Z czego to wynika?

PS: Przy całce która nie jest funkcją złożoną czyli np. \(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x}\) jest równa całce z \(\displaystyle{ x}\) podzielonej przez \(\displaystyle{ n}\).

Dziękuję.

[sdd1975]

PS: Przy całce która nie jest funkcją złożoną czyli np. \(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x}\) jest równa całce z \(\displaystyle{ x}\) podzielonej przez \(\displaystyle{ n}\).

A mylisz się.

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x = n \cdot \frac {\left( \frac{x}{n} \right) ^{2}}{2} }\)

Mnożenie jak byk!

Dodano po 11 minutach 6 sekundach:
A intuicyjnie najprościej, jak się da - skoro przy pochodnej mnożymy, a całkowanie ponoć jest operacją odwrotną do różniczkowania- no to przy całce dzielimy.
Oczywiście dotyczy to TYLKO I WYŁĄCZNIE złożeń, w których funkcją wewnętrzną jest funkcja liniowa - dzielimy wtedy przez współczynnik kierunkowy funkcji. W ogólnym przypadku wzór na całkę nieoznaczoną funkcji złożonej NIE ISTNIEJE.

Dodano po 4 minutach 7 sekundach:
Czyli;

\(\displaystyle{ \int f \left( \alpha \cdot x + \beta \right) dx = \frac{1}{\alpha} \cdot F\left( \alpha \cdot x + \beta \right) }\)

[Mondo]

PS: Przy całce która nie jest funkcją złożoną czyli np. \(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x}\) jest równa całce z \(\displaystyle{ x}\) podzielonej przez \(\displaystyle{ n}\).

A mylisz się.

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x = n \cdot \frac {\left( \frac{x}{n} \right) ^{2}}{2} }\)

Mnożenie jak byk!

Gdzie się mylę? \(\displaystyle{ \int x \, \dd x = \frac{x^2}{2}}\), a \(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x = \frac{x^2}{2n} }\) czy jak napisałem dla "zwykłej całki" jeśli argument podzielimy przez n to i wynik całki również bedzie podzielony przez n.

Dodano po 43 sekundach:

Chciałbym właśnie zobaczyć to w rachunku np. sumy w sensie Riemana, że jeśli argument cosinusa zostaje podwojony to wynik całki dzieli się przez 2.

[sdd1975]

Chodzi o to, że to co napisałeś, też można potraktować jako funkcję złożoną.

Czyli "prostą" funkcją jest \(\displaystyle{ f \left(x \right) = x }\) a "złożoną" jest \(\displaystyle{ f \left( \frac {x}{n} \right) = \frac {x}{n} }\)

I teraz - jak widzisz, nadal przy całkowaniu przez n jest mnożone - tak, jak napisałem.

Po prostu - różniczkując - MNOŻYSZ przez "funkcją wewnętrzną" a całkując - DZIELISZ przez wewnętrzną (o ile jest to funkcja liniowa, bo przy innych, nie ma tak prosto).

Dodano po 2 minutach 54 sekundach:

Gdzie się mylę? \(\displaystyle{ \int x \, \dd x = \frac{x^2}{2}}\), a \(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x = \frac{x^2}{2n} }\) czy jak napisałem dla "zwykłej całki" jeśli argument podzielimy przez n to i wynik całki również bedzie podzielony przez n.

Nie, w Twoim zapisie, nie dzielisz ARGUMENTU!!! - Ty dzielisz WARTOŚĆ funkcji przez n.

Gdybyś rzeczywiście podzielił - jak twierdzisz - ARGUMENT, zapisałbyś całkowanie tak:

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{n} \, \dd x = n \cdot \frac {\left( \frac{x}{n} \right)^{2}}{2} = \frac {x^{2}}{2n} }\)

Argument jest dzielony przez n w moim zapisie. Ty dzielisz Wartość.

Dodano po 11 minutach 41 sekundach:
O a wymyśliłem jeszcze jedno uzasadnienie. Przy całkowaniu zapominamy często o "mało znaczącym" szczególe na końcu - czyli o \(\displaystyle{ \dd x}\)

Jeśli - dajmy na to POMNOŻYSZ argument funkcji przez \(\displaystyle{ a}\) - czyli zrobisz z \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ ax}\), to tym samym pomnożysz też ów przyrost - i z \(\displaystyle{ \dd x}\) zrobisz (niejawnie, ale skutecznie !) \(\displaystyle{ a \dd x}\). Tym samym całka się - w sposób niewidoczny - "pomnoży" przez \(\displaystyle{ a}\). No to, aby "przywrócić" ją do oryginalnej wartości, musisz ją - niejako "z powrotem" - przez owo \(\displaystyle{ a}\) podzielić. Jasne?

Doskonale to widać w metodzie całkowania przez podstawienie.

Dodano po 2 godzinach 41 minutach 12 sekundach:
Najjaśniej i najdobitniej będzie to widać na przykładzie funkcji stałej.

Niech będzie dana funkcja:

\(\displaystyle{ C \left(x \right) = a }\)

wiemy, że jej całka nieoznaczona (pomijając stałą całkowania) wynosi:

\(\displaystyle{ \int C \left(x \right) \dd x = a \cdot x }\)

czyli całka równa się \(\displaystyle{ a}\) razy argument funkcji.

I teraz chcemy obliczyć:

\(\displaystyle{ \int C \left(2x \right) \dd x = ? }\)

załóżmy, że nie wiemy, czy trzeba pomnożyć bądź podzielić i piszemy po prostu:


\(\displaystyle{ \int C \left(2x \right) \dd x = a \cdot 2x = 2ax }\)

otrzymujący wynik BŁEDNY, bo przecież \(\displaystyle{ C \left(2x \right) = a }\) (wszak funkcja \(\displaystyle{ C}\) jest funkcją stałą) i wiemy, że powinno być:

\(\displaystyle{ \int a \dd x = ax }\)

czyli otrzymaliśmy wynik DWUKROTNIE za duży.

Albowiem, by w sposób prawidłowy policzyć całkę, należy PODZIELIĆ jej wartość przez 2, bo przez tyle został pomnożony argument:

\(\displaystyle{ \int C \left(2x \right) \dd x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2x = ax }\)

analogicznie:

\(\displaystyle{ \int C \left(100x \right) \dd x = \frac{1}{100} \cdot a \cdot 100x = ax }\)

[Mondo]

Albowiem, by w sposób prawidłowy policzyć całkę, należy PODZIELIĆ jej wartość przez 2, bo przez tyle został pomnożony argument:

\(\displaystyle{ \int C \left(2x \right) \dd x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2x = ax }\)

analogicznie:

\(\displaystyle{ \int C \left(100x \right) \dd x = \frac{1}{100} \cdot a \cdot 100x = ax }\)

Okay przekonujące, dzieki