Oblicz całkę nieoznaczoną

[majusxp]

Witam, mam do policzenia taką całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{2+\sin x}{2- \cos x} dx}\)

Proszę o pomoc

[Nadine]

Przed podstawienie
\(\displaystyle{
u= \tg(\frac{x}{2})
}\)
Wtedy
\(\displaystyle{
\sin = \frac{2u}{1+u^2}
}\)
\(\displaystyle{
\cos = \frac{1-u^2}{1+u^2}
}\)
\(\displaystyle{
dx = \frac{2du}{1+u^2}}\)

[Premislav]

Może da się wymyślić coś finezyjnego, ale tu zwyczajnie pracuje podstawienie uniwersalne:
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2\tg \left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\\\cos x=\frac{\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-\tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}}\)
i podstawiamy \(\displaystyle{ t=\tg\left(\frac{x}{2}\right)}\). Dostajemy w ten sposób całkę z funkcji wymiernej:
\(\displaystyle{ \int \frac{2\left(1+t^{2}\right)+2t}{2\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)}\cdot \frac{2\mbox{d}t}{1+t^{2}}}\)

Dalej rozkład na ułamki proste…

[Kordyt]

Można też tak

\(\displaystyle{ \int \frac{2+\sin{x}}{2-\cos{x}}dx=\int \frac{2}{2-\cos{x}}dx+\int \frac{\sin{x}}{2-\cos{x}}dx}\)

Druga całka jest trywialna w tym momencie. A pierwsza

\(\displaystyle{ I_1=\int \frac{2}{2-\cos{x}}dx=\int \frac{2}{2\cos^2{\frac{x}{2}}+2\sin^2{\frac{x}{2}}-\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}dx
=\int \frac{\frac{2}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{3\tan^2{\frac{x}{2}}+1}dx}\)
I tu już też całka staje się trywialna.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int \frac{2+\sin x}{2- \cos x} \mbox{d}x\\
=\int{\frac{2}{2-\cos{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{2-\cos{x}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{4+2\cos{x}}{\left(2-\cos{x} \right)\left( 2+\cos{x}\right) }\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{2-\cos{x}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{4}{4-\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{2\cos{x}}{3+\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{2-\cos{x}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\cdot\frac{4}{4\tan^{2}{x}+3}}+\int{\frac{2\cos{x}}{3+\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{2-\cos{x}}\mbox{d}x}\\
}\)