Oblicz całkę nieoznaczoną

[majusxp]

Witam, mam do obliczenia taką całkę:
\(\displaystyle{ \int \sin^{7}(x) \cos^{3}(x) dx }\)

Zrobiłem następujące podstawienie: \(\displaystyle{ t = \sin^{6}(x) }\) skąd \(\displaystyle{ dt = 6\sin^{5}(x)\cos(x)dx}\)
Po podstawieniu dostałem: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int t^{\frac{1}{3}}(1-t^{\frac{1}{3}})dt}\)
Na koniec dostałem wynik: \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \sin^{8}(x)- \frac{1}{10}\sin^{10} (x)}\)

Czy to jest dobry wynik i dobre rozumowanie? Wiem, że może mogłem zrobić łatwiejsze podstawienie, chociażby \(\displaystyle{ t=\cos^{2}x}\), ale proszę o ocene tego sposobu.

[Premislav]

Jest dobrze, tylko jeszcze zgubiłeś stałą całkowania. Aby się o tym przekonać, możesz zróżniczkować swój wynik, co daje
\(\displaystyle{ 8\cdot \frac{1}{8}\sin^{7}(x)\cos(x)-\frac{1}{10}\cdot 10\sin^{9}(x)\cos(x)=\sin^{7}(x)\cos(x)\left(1-\sin^{2}(x)\right)=\sin^{7}(x)\cos^{3}(x)}\)
czyli to, co powinno wyjść.

[majusxp]

Jest dobrze, tylko jeszcze zgubiłeś stałą całkowania. Aby się o tym przekonać, możesz zróżniczkować swój wynik, co daje
\(\displaystyle{ 8\cdot \frac{1}{8}\sin^{7}(x)\cos(x)-\frac{1}{10}\cdot 10\sin^{9}(x)\cos(x)=\sin^{7}(x)\cos(x)\left(1-\sin^{2}(x)\right)=\sin^{7}(x)\cos^{3}(x)}\)
czyli to, co powinno wyjść.

Racja, dziękuję bardzo!