Całka oznaczona

[Nuna]

Mam do policzenia pochodną funkcji
\(\displaystyle{ G\left( y\right) = \int_{y}^{ y^{2} } \sqrt{1+ t^{2} } dt }\)

Zaczęłam od policzenia całki nieoznaczonej
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+t^{2}} dt }\), zrobiłam podstawienie \(\displaystyle{ t = \tg x, ~ dt = \frac{1}{\cos^{2}x}dx }\). Obliczenia sprowadziły się do policzenia \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\cos^{3}}dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\tg x}{\cos x} - \frac{1}{2}\left( \ln\left( 1+\sin x\right) - \ln\left( 1-\sin x\right) \right) \right] }\).

I utknęłam. Nie wiem jak wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Mogę zmienić granice całkowania, ale czy to polepszy moją sytuację - chyba nie.

[Janusz Tracz]

I utknęłam. Nie wiem jak wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ t}\).

Odwracając podstawieniowe \(\displaystyle{ x=\arctg t}\). Ale w ogóle tu nie trzeba liczyć całki:

Zaczęłam od policzenia całki nieoznaczonej

to nie jest najlepszy pomysł. Dużo łatwiej jest policzyć to tak:

\(\displaystyle{ \frac{ \dd g}{ \dd y}= \frac{ \dd }{ \dd y} \left( \int_{y^2}^{y} \sqrt{1+t^2} \dd t \right) = \frac{ \dd }{ \dd y}\left( F(y^2)-F(y)\right) }\)

gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną do funkcji podcałkowej mamy więc \(\displaystyle{ F'(t)= \sqrt{1+t^2} }\). Wystarczy zatem podstawiać \(\displaystyle{ y^2}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) do tego wzoru (pamiętaj o funkcji złożonej)

Dodano po 33 minutach 46 sekundach:
Errata: miało być \(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd y} \left( \int_{y}^{y^2} \sqrt{1+t^2} \dd t \right) }\). Dzięki a4karo za czujność.