całka przez części

[shreder221]

Dzień dobry.
W zeszycie mam rozwiązaną całkę \(\displaystyle{ \int (1-x^2)^{n} \dd x }\) 3 metodami
2 z nich rozumiem. W trzeciej: przez części nie rozumiem jednego przekształcenia

\(\displaystyle{ I_{n}= \int (1-x^{2})^{n} \dd x= x(1-x^{2})^{n} - \int ((1-x^{2})^{n})' x \dd x=

x(1-x^{2})^{n} -2n\int (1-x^{2})^{n} \dd x-2n \int (1-x^{2})^{n-1} \dd x=x(1-x^{2})^{n} -2n\cdot I_{n}-2n\cdot I_{n-1}=}\)

I dalej już prosto.

Problematycznym przekształceniem jest rozbicie
\(\displaystyle{ x(1-x^{2})^{n} - \int ((1-x^{2})^{n})' x \dd x=

x(1-x^{2})^{n} -2n\int (1-x^{2})^{n} \dd x-2n \int (1-x^{2})^{n-1} \dd x}\)

[a4karo]

\(x((1-x^2)^n)'=x\cdot n((1-x^2)^{n-1}\cdot 2x=
2n x^2(1-x^2)^{n-1}-2n(1-x^2)^{n-1}+2n(1-x^2)^{n-1}\\=2n(1-x^2)^{n-1}-2n(1-x^2)(1-x^2)^{n-1}=...\)

[shreder221]

W ogóle nie przyszło mi do głowy stworzenie 0. Pięknie dziękuję

PS.
A i chyba minusa zgubiłeś bo pochodną funkcji wewnętrznej jest \(\displaystyle{ -2x}\) zamiast \(\displaystyle{ 2x}\)