całka przez części

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2 razy

całka przez części

Post autor: shreder221 » 23 sty 2020, o 13:21

Dzień dobry.
W zeszycie mam rozwiązaną całkę \(\displaystyle{ \int (1-x^2)^{n} \dd x }\) 3 metodami
2 z nich rozumiem. W trzeciej: przez części nie rozumiem jednego przekształcenia

\(\displaystyle{ I_{n}= \int (1-x^{2})^{n} \dd x= x(1-x^{2})^{n} - \int ((1-x^{2})^{n})' x \dd x=

x(1-x^{2})^{n} -2n\int (1-x^{2})^{n} \dd x-2n \int (1-x^{2})^{n-1} \dd x=x(1-x^{2})^{n} -2n\cdot I_{n}-2n\cdot I_{n-1}=}\)


I dalej już prosto.

Problematycznym przekształceniem jest rozbicie
\(\displaystyle{ x(1-x^{2})^{n} - \int ((1-x^{2})^{n})' x \dd x=

x(1-x^{2})^{n} -2n\int (1-x^{2})^{n} \dd x-2n \int (1-x^{2})^{n-1} \dd x}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: całka przez części

Post autor: a4karo » 23 sty 2020, o 16:33

\(x((1-x^2)^n)'=x\cdot n((1-x^2)^{n-1}\cdot 2x=
2n x^2(1-x^2)^{n-1}-2n(1-x^2)^{n-1}+2n(1-x^2)^{n-1}\\=2n(1-x^2)^{n-1}-2n(1-x^2)(1-x^2)^{n-1}=...\)

shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2 razy

Re: całka przez części

Post autor: shreder221 » 23 sty 2020, o 17:56

W ogóle nie przyszło mi do głowy stworzenie 0. Pięknie dziękuję

PS.
A i chyba minusa zgubiłeś ;) bo pochodną funkcji wewnętrznej jest \(\displaystyle{ -2x}\) zamiast \(\displaystyle{ 2x}\)

ODPOWIEDZ