Dzień dobry.
Mam pytanie do zadania:
Sprawdź z użyciem całki Riemmanna że
a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}=\frac{1}{ 2} }\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n+k}=\ln 2 }\)
Rozumiem całe zadanie z wyjątkiem jednego przejścia i jeśliby ktoś mógł mi wytłumaczyć to przejście??
Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)
I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?
Policz granicę z użyciem całki Riemmanna
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna
Wszystkie sumy w Twoim poście powinny być od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), a nie do \(\displaystyle{ \infty}\).
\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \dd x = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n}} f \left( a + \textcolor{red}{k} \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\).
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\)
pokryła się z sumą, której granicę chcemy policzyć. W cytowanym przez Ciebie rozwiązaniu zauważono, że dobrymi kandydatami są liczby \(\displaystyle{ a = 0, b = 1}\) i funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\).
Raczej:shreder221 pisze: ↑23 sty 2020, o 10:04Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=}\)
\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \dd x = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n}} f \left( a + \textcolor{red}{k} \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\).
To nie jest założenie, tylko wybór. Staramy się znaleźć liczby \(\displaystyle{ a, b}\) oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\), tak by suma całkowashreder221 pisze: ↑23 sty 2020, o 10:04\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)
I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\)
pokryła się z sumą, której granicę chcemy policzyć. W cytowanym przez Ciebie rozwiązaniu zauważono, że dobrymi kandydatami są liczby \(\displaystyle{ a = 0, b = 1}\) i funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna
I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?
Nwm co ja mam z tym przepisywaniem. W zeszycie mam tak jak ty to zapisałeś. A tutaj takie głupoty zapisałem. Zresztą to samo robię na większości kolokwiów ;(
Nwm co ja mam z tym przepisywaniem. W zeszycie mam tak jak ty to zapisałeś. A tutaj takie głupoty zapisałem. Zresztą to samo robię na większości kolokwiów ;(
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna
Wybór był taki, żeby zachodziła tożsamośćshreder221 pisze: ↑23 sty 2020, o 11:34I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n}}\).
Naturalne w tej sytuacji jest przyrównanie osobno wyrażeń przed sumą i za nią:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \\[1ex]
f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{k}{n}
\end{cases}}\)
Z pierwszego warunku mamy \(\displaystyle{ b = a + 1}\), a drugi upraszcza się do
\(\displaystyle{ f \left( a + \frac{k}{n} \right) = \frac{k}{n}}\)
i dalej łatwo zauważyć, że dobrym wyborem jest \(\displaystyle{ a = 0}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x}\).
Oczywiście każdy wybór, dla którego zachodzi napisana na początku tożsamość, prowadzi do poprawnego wyniku (o ile otrzymana całka jest do policzenia). Mniej naturalnymi, ale też dobrymi kandydatami są na przykład \(\displaystyle{ a = \pi, b = \pi+1}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x-\pi}\).