Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

[shreder221]

Dzień dobry.
Mam pytanie do zadania:
Sprawdź z użyciem całki Riemmanna że
a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}=\frac{1}{ 2} }\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n+k}=\ln 2 }\)

Rozumiem całe zadanie z wyjątkiem jednego przejścia i jeśliby ktoś mógł mi wytłumaczyć to przejście??

Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}}\)


\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)

I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?

[Dasio11]

Wszystkie sumy w Twoim poście powinny być od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), a nie do \(\displaystyle{ \infty}\).

Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=}\)

Raczej:

\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \dd x = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n}} f \left( a + \textcolor{red}{k} \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\).

\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)

I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?

To nie jest założenie, tylko wybór. Staramy się znaleźć liczby \(\displaystyle{ a, b}\) oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\), tak by suma całkowa

\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\)

pokryła się z sumą, której granicę chcemy policzyć. W cytowanym przez Ciebie rozwiązaniu zauważono, że dobrymi kandydatami są liczby \(\displaystyle{ a = 0, b = 1}\) i funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\).

[shreder221]

I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?

Nwm co ja mam z tym przepisywaniem. W zeszycie mam tak jak ty to zapisałeś. A tutaj takie głupoty zapisałem. Zresztą to samo robię na większości kolokwiów ;(

[Dasio11]

I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?

Wybór był taki, żeby zachodziła tożsamość

\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n}}\).

Naturalne w tej sytuacji jest przyrównanie osobno wyrażeń przed sumą i za nią:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \\[1ex]
f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{k}{n}
\end{cases}}\)

Z pierwszego warunku mamy \(\displaystyle{ b = a + 1}\), a drugi upraszcza się do

\(\displaystyle{ f \left( a + \frac{k}{n} \right) = \frac{k}{n}}\)

i dalej łatwo zauważyć, że dobrym wyborem jest \(\displaystyle{ a = 0}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x}\).


Oczywiście każdy wybór, dla którego zachodzi napisana na początku tożsamość, prowadzi do poprawnego wyniku (o ile otrzymana całka jest do policzenia). Mniej naturalnymi, ale też dobrymi kandydatami są na przykład \(\displaystyle{ a = \pi, b = \pi+1}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x-\pi}\).