Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2 razy

Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

Post autor: shreder221 » 23 sty 2020, o 10:04

Dzień dobry.
Mam pytanie do zadania:
Sprawdź z użyciem całki Riemmanna że
a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}=\frac{1}{ 2} }\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n+k}=\ln 2 }\)

Rozumiem całe zadanie z wyjątkiem jednego przejścia i jeśliby ktoś mógł mi wytłumaczyć to przejście??

Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}}\)


\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)

I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8729
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1850 razy

Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

Post autor: Dasio11 » 23 sty 2020, o 11:20

Wszystkie sumy w Twoim poście powinny być od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), a nie do \(\displaystyle{ \infty}\).

shreder221 pisze:
23 sty 2020, o 10:04
Porównujemy naszą granicę z granicą z definicji całki Riemanna
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\infty}f\left( a+\frac{b-a}{n}\right)=}\)
Raczej:

\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \dd x = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n}} f \left( a + \textcolor{red}{k} \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\).

shreder221 pisze:
23 sty 2020, o 10:04
\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} }\)

I tutaj z jakiegoś powodu zakładamy że \(\displaystyle{ a=0 }\)
Skąd tutaj powyższe założenie?
To nie jest założenie, tylko wybór. Staramy się znaleźć liczby \(\displaystyle{ a, b}\) oraz funkcję \(\displaystyle{ f}\), tak by suma całkowa

\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right)}\)

pokryła się z sumą, której granicę chcemy policzyć. W cytowanym przez Ciebie rozwiązaniu zauważono, że dobrymi kandydatami są liczby \(\displaystyle{ a = 0, b = 1}\) i funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\).

shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

Post autor: shreder221 » 23 sty 2020, o 11:34

I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?

Nwm co ja mam z tym przepisywaniem. W zeszycie mam tak jak ty to zapisałeś. A tutaj takie głupoty zapisałem. Zresztą to samo robię na większości kolokwiów ;(

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8729
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1850 razy

Re: Policz granicę z użyciem całki Riemmanna

Post autor: Dasio11 » 23 sty 2020, o 13:34

shreder221 pisze:
23 sty 2020, o 11:34
I niezależnie od wyboru granicą wyjdzie prawidłowa? I tutaj został wybrany ze względu na znaczne uproszczenie funkcji podszeregiem. Czy był to ślepy strzał wynikający z ... ?
Wybór był taki, żeby zachodziła tożsamość

\(\displaystyle{ \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n}}\).

Naturalne w tej sytuacji jest przyrównanie osobno wyrażeń przed sumą i za nią:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \\[1ex]
f \left( a + k \cdot \frac{b-a}{n} \right) = \frac{k}{n}
\end{cases}}\)


Z pierwszego warunku mamy \(\displaystyle{ b = a + 1}\), a drugi upraszcza się do

\(\displaystyle{ f \left( a + \frac{k}{n} \right) = \frac{k}{n}}\)

i dalej łatwo zauważyć, że dobrym wyborem jest \(\displaystyle{ a = 0}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x}\).


Oczywiście każdy wybór, dla którego zachodzi napisana na początku tożsamość, prowadzi do poprawnego wyniku (o ile otrzymana całka jest do policzenia). Mniej naturalnymi, ale też dobrymi kandydatami są na przykład \(\displaystyle{ a = \pi, b = \pi+1}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x-\pi}\).

ODPOWIEDZ