Postać kanoniczna w całkach

[Nadine]

Dzień dobry,
czy słusznym jest rozwiązywanie tej całki takim sposobem
\(\displaystyle{
\int \frac{x dx}{2x^2 - 3x -2}
}\)
\(\displaystyle{
\frac{1}{2} \int \frac{x}{(x- \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8} }
}\)
Jeśli tak to jak dalej z nią postępować?

[Premislav]

Raczej
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{x}{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{25}{\red{16}}}\mbox{d}x}\)
Dalej można zastosować rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{x}{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{25}{16}}=\frac{x}{\left(x-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)}\\=\frac{x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{4\left(x+\frac{1}{2}\right)+(x-2)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-2)}\\=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{x-2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{x+\frac{1}{2}}}\)
Następnie korzystasz z liniowości całki i oczywistego wzorku
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C, \ a\neq 0}\)

[Nadine]

Czyli wychodziło by,
\(\displaystyle{
\frac{4}{5} \ln|x-2| + \frac{1}{5} \ln |x + \frac{1}{2} |}\)

[Premislav]

No jeszcze zgubiłaś tę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), którą wyłączyłaś przed znak całki, no i zapomniałaś o stałej całkowania.
Powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{5}\ln|x-2|+\frac{1}{10}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C}\)

[Nadine]

I mnożąc przez startowe
\(\displaystyle{
\frac {1}{2}
}\)
Wyszła mi poprawna odpowiedź, dziękuję

Dodano po 34 sekundach:
Właśnie pisałam, ale fakt zapomniałam o stałej

Dodano po 7 minutach 30 sekundach:
Nie wiem czy to wina tego, że nie wyrabia, ale wolfram pokazuje mi
\(\displaystyle{
+ \frac{2}{10} \ln |x+\frac{1}{2}|}\)

[janusz47]

Wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta = 25 >0, }\) więc proponował bym metodę rozkładu funkcji podcałkowej na sumę dwóch ułamków prostych

\(\displaystyle{ \frac{x}{2x^2 -3x -2} = \frac{x}{(2x +1)(x-2)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2x^2 -3x -2}= \frac{1}{5(2x+1)} + \frac{2}{5(x-2)} }\) (proszę sprawdzić)


\(\displaystyle{ \int \frac{x}{2x^2 -3x -2} dx = \int \frac{1}{5(2x+1)} dx + \int\frac{2}{5(x-2)}dx = \frac{1}{10}\ln| 2x +1| + \frac{2}{5}\ln|x-2| + C. }\)

[a4karo]

Nie wiem czy to wina tego, że nie wyrabia, ale wolfram pokazuje mi
\(\displaystyle{
+ \frac{2}{10} \ln |x+\frac{1}{2}|}\)

Nie piszesz co kazałaś policzyć Wolframowi. Przy tego typu prostych zadaniach rozwiązywanych przez Wolframa błąd robi najczęściej białkowy czynnik między klawiaturą a komputerem