Całka oznaczona funkcje wymierne

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
wiaderos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 21 sty 2020, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Całka oznaczona funkcje wymierne

Post autor: wiaderos » 21 sty 2020, o 11:26

Witam mam problem z całką:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \frac{1-x ^{4} }{(1+x ^{2}+x ^{4}) \sqrt{1+x ^{4} } } \dd x }\)

Dawno nie robiłem całek i nie pamiętam wielu zależności, prosiłbym o jakieś porady. Próbowałem zrobić to przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x ^{2} }\), granice całkowania zmieniłem od 1 do 9, rozbiłem to na dwie całki \(\displaystyle{ \int_{1}^{9} \frac{1}{ 2\sqrt{t} (1+t +t ^{2}) \sqrt{1+t ^{2} } } \dd t - }\)\(\displaystyle{ \int_{1}^{9} \frac{t ^{2} }{2\sqrt{t}(1+t+t ^{2}) \sqrt{1+t ^{2} } } \dd t }\) i nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić. Gdyby nie pierwiastek w mianowniku, to próbowałbym to rozbić na ułamki proste, ewentualnie sprowadzić do postaci kanonicznej jednak z pierwiastkiem nie wiem jak to dalej ruszyć. Z góry dziękuję za wszelkie sugestie.
Pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6712
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Re: Całka oznaczona funkcje wymierne

Post autor: mariuszm » 26 sty 2020, o 02:55

\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \frac{1-x ^{4} }{(1+x ^{2}+x ^{4}) \sqrt{1+x ^{4} } } \dd x \\
\int{ \frac{1-x^4}{\left( 1+x^2+x^4\right)x \sqrt{x^2+ \frac{1}{x^2} } } \dd x}\\
\int{ \frac{\left( 1-x^2\right)\left( 1+x^2\right) }{\left( 1+x^2+x^4\right)x \sqrt{x^2+ \frac{1}{x^2} } } \dd x}\\
\int{ \frac{\left( \frac{1}{x^2}-1\right)\left( x+ \frac{1}{x} \right) }{\left( \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}+x\right)x \sqrt{x^2+ \frac{1}{x^2} } } \dd x}\\
-\int{ \frac{\left( 1-\frac{1}{x^2}\right)\left( x+ \frac{1}{x} \right) }{\left( \frac{1}{x^2}+1+x^2\right) \sqrt{x^2+ \frac{1}{x^2} } } \dd x}\\
t=x+ \frac{1}{x} \\
\dd t=\left( 1-\frac{1}{x^2}\right) \dd x \\
t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\\
- \int{\frac{t}{\left( t^2-1\right) \sqrt{t^2-2} } \dd t} \\
}\)


Teraz mamy kilka możliwości np
podstawienie za pierwiastek
albo podstawienie Eulera (pierwsze lub trzecie)

Chyba najlepiej zadziała tutaj podstawienie za pierwiastek

\(\displaystyle{
- \int{\frac{t}{\left( t^2-1\right) \sqrt{t^2-2} } \dd t} \\
u= \sqrt{t^2-2}
u^2=t^2-2\\
2u \dd u=2t \dd t\\
u \dd u=t \dd t\\
-\int{ \frac{u}{\left( u^2+1\right)u } \dd u}\\
-\int{ \frac{1}{u^2+1} \dd u}\\
=-\arctan{\left( u\right) }+C\\
=-\arctan{\left( \sqrt{t^2-2} \right) }+C\\
=-\arctan{\left( \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \right) }+C\\
=-\arctan{\left( \frac{ \sqrt{x^4+1} }{x} \right) }+C\\
-\arctan{\left( \frac{ \sqrt{82} }{3} \right) }-\left( -\arctan{\left( \sqrt{2} \right) }\right) \\
=\arctan{\left( \sqrt{2} \right) }-\arctan{\left( \frac{ \sqrt{82} }{3} \right) }
}\)

ODPOWIEDZ