Pytanie o całki

[las484]

Załóżmy że mamy do obliczenia \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x+1} \dd x }\). Ze wzorów widać że jest ona równa \(\displaystyle{ \ln|x+1| + C}\). Zastanawiam się dlaczego nie można jej wyznaczyć z innego wzoru na \(\displaystyle{ \arctg x}\) byłaby wtedy równa \(\displaystyle{ \arctg \sqrt{x} + C}\)

[a4karo]

A jak byś chciał to zrobić?

Zgodnie z Twoim "rozumowaniem" jeżeli \(\int x^2dx=x^3/3\), to \(\int xdx =(\sqrt{x})^3/3\)

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x+1} \dd x }\) to nie jest to samo co \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ ( \sqrt{x}) ^{2} +1} \dd x }\)
Gdyż po tym przekształceniu zmieniasz dziedzinę bo pierwiastek kwadratowy wymaga aby \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

[las484]

Ok dzięki racja

[a4karo]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x+1} \dd x }\) to nie jest to samo co \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ ( \sqrt{x}) ^{2} +1} \dd x }\)
Gdyż po tym przekształceniu zmieniasz dziedzinę bo pierwiastek kwadratowy wymaga aby \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

To jest słaby argument. Czyżbyś chciał zasugerować, że gdy patrzymy na prawą półprostą tylko, to "metoda" autora posta jest poprawna?

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x+1} \dd x }\) to nie jest to samo co \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ ( \sqrt{x}) ^{2} +1} \dd x }\)
Gdyż po tym przekształceniu zmieniasz dziedzinę bo pierwiastek kwadratowy wymaga aby \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

To jest słaby argument. Czyżbyś chciał zasugerować, że gdy patrzymy na prawą półprostą tylko, to "metoda" autora posta jest poprawna?

Właściwie to istotnie tak pomyślałem dopiero teraz uświadomiłeś mi, że to błędne.