Oblicz całki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Exelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 sty 2020, o 23:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27

Oblicz całki

Post autor: Exelon » 16 sty 2020, o 16:25

Witam, mam do zrobienia następujące całki i nietety nie mam pomysłu jak je ugryźć. Czy ktoś mógłby pomóc mi w ich rozwiązaniu?

1) \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{+ \infty } \frac{x\sin x}{x^2+4x+20} \dd x }\)

2) \(\displaystyle{ \int\limits_{K}^{} \frac{1}{(z^2+4iz-3)^2} \dd z }\) gdzie \(\displaystyle{ K: z(t)= 3e^{it} , t \in [0,2 \pi ]}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 19:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Oblicz całki

Post autor: Benny01 » 16 sty 2020, o 17:11

Pierwszą można fajnie policzyć korzystając z transformaty Fouriera.
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin x}{x^2+4x+20} \dd x = Im \left( \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{xe^{ix \xi}}{x^2+4x+20} \dd x\right) }\)

Dodatkowo własność pochodnej transformaty.
\(\displaystyle{ D_{\xi} F[f(x)](\xi)=F[ixf(x)](\xi) \Rightarrow \frac{D_{\xi}}{i}=F[xf(x)](\xi)}\)

I skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ F[\frac{1}{x^2+a^2}](\xi)=e^{-a|\xi|} \cdot \frac{\pi}{a}}\)
I po przeliczeniu tych transformat wystarczy podstawić \(\displaystyle{ \xi =1}\)

ODPOWIEDZ