Ciekawa całka - niecałkowalna w sensie Riemanna

[iksel_ataner]

Witam. Mam do policzenia taką całeczkę. Niestety całki górna i dolna Darboux są różne, więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Jak się z nią mogę inaczej uporać?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x \quad\quad f(x) = \begin{cases} 1 \quad x\in [0, 1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 \quad x\in [0, 1] \cap (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\end{cases} }\)

[Janusz Tracz]

więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna

To wszystko co można zrobić w kontekście całki Riemanna.

Jak się z nią mogę inaczej uporać?

Można rozważać inną konstrukcję całki np. bardziej ogólną Całka Lebesgue’a dla której całkowanie funkcji charakterystycznych zbioru sprowadza się do podania ich miary

\(\displaystyle{ \int \chi_A\text{d}\mu=\mu(A) }\)

podane przez Ciebie funkcja jest funkcją charakterystyczną \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \cap \QQ }\) więc wynik całki Lebesgue’a to \(\displaystyle{ \mu\left( \left[ 0,1\right] \cap \QQ \right) = 0 }\) (to znany fakt, że miara nawet \(\displaystyle{ \QQ}\) wynosi zero).

[Gosda]

Dla niektórych trochę bardziej intuicyjne jest inne podejście: jeśli dwie funkcje różnią się na zbiorze miary zero, to ich całki Lebesgue'a są równe. Zatem naszą funkcję można zastąpić funkcją stale równą zero, i teraz już całka Riemanna jest do wyznaczenia.