Witam. Mam do policzenia taką całeczkę. Niestety całki górna i dolna Darboux są różne, więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Jak się z nią mogę inaczej uporać?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x \quad\quad f(x) = \begin{cases} 1 \quad x\in [0, 1]\cap \mathbb{Q} \\ 0 \quad x\in [0, 1] \cap (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\end{cases} }\)
Ciekawa całka - niecałkowalna w sensie Riemanna
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 22 mar 2017, o 10:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Ciekawa całka - niecałkowalna w sensie Riemanna
To wszystko co można zrobić w kontekście całki Riemanna.więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna
Można rozważać inną konstrukcję całki np. bardziej ogólną Całka Lebesgue’a dla której całkowanie funkcji charakterystycznych zbioru sprowadza się do podania ich miaryJak się z nią mogę inaczej uporać?
\(\displaystyle{ \int \chi_A\text{d}\mu=\mu(A) }\)
podane przez Ciebie funkcja jest funkcją charakterystyczną \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \cap \QQ }\) więc wynik całki Lebesgue’a to \(\displaystyle{ \mu\left( \left[ 0,1\right] \cap \QQ \right) = 0 }\) (to znany fakt, że miara nawet \(\displaystyle{ \QQ}\) wynosi zero).
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Ciekawa całka - niecałkowalna w sensie Riemanna
Dla niektórych trochę bardziej intuicyjne jest inne podejście: jeśli dwie funkcje różnią się na zbiorze miary zero, to ich całki Lebesgue'a są równe. Zatem naszą funkcję można zastąpić funkcją stale równą zero, i teraz już całka Riemanna jest do wyznaczenia.