Znaleźć funkcję pierwotną

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 30 gru 2019, o 16:02

Witam,

dlaczego dla \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) pochodna \(\displaystyle{ H'(x) = \frac{1}{x} }\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)?
Przecież, funkcja podcałkowa powinna być funkcją pierwotną pochodnej z całki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: a4karo » 30 gru 2019, o 16:20

`H` jest funkcja zmiennej `x`, więc jej pochodna zależy od `x`.

Zwróć uwagę, że
`\int_1^x \frac{dt}[t}=\int_1^x \frac{ds}[s}=\int_1^x \frac{dx}[x}=\int_1^x \frac{d(kubek\ do\ kawy)}[(kubek\ do\ kawy)}`

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 31 gru 2019, o 17:08

a4karo pisze:
30 gru 2019, o 16:20
`H` jest funkcja zmiennej `x`, więc jej pochodna zależy od `x`.
No właśnie nie widzę tego, przecież całkujemy po zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Wedle definicji całki Riemana np. suma dolna to \(\displaystyle{ L(f,P) = \sum_{k=1}^{n} m_{k} (x_k - x_{k-1})}\) przy czym \(\displaystyle{ m_k = \inf(f(x):x \in [x_{k-1}, x_k])}\) a więc zależy od naszej funkcji pod całkowej \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\). Dlaczego więc \(\displaystyle{ H(x)}\) czyli nasza całka od \(\displaystyle{ t}\) nie zależy?
a4karo pisze:
30 gru 2019, o 16:20
Zwróć uwagę, że
`\int_1^x \frac{dt}[t}=\int_1^x \frac{ds}[s}=\int_1^x \frac{dx}[x}=\int_1^x \frac{d(kubek\ do\ kawy)}[(kubek\ do\ kawy)}`
Tak jak powyżej, nie rozumiem - wedle sumy Riemanna funkcja podcałkowa jest brana w infimum a więc nie może być tak, że są te całki równe.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2019, o 17:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: a4karo » 31 gru 2019, o 18:15

Zmienna \(\displaystyle{ t}\) jest tylko symbolem. Napisz definicje całki oznaczonej, a potem zmień w niej nazwę zmiennej na inną i zobacz, że nic się nie zmieniło.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2019, o 18:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 1 sty 2020, o 12:59

a4karo pisze:
31 gru 2019, o 18:15
Zmienna \(\displaystyle{ t}\) jest tylko symbolem. Napisz definicje całki oznaczonej, a potem zmień w niej nazwę zmiennej na inną i zobacz, że nic się nie zmieniło.
No właśnie to próbowałem zrobić w moim ostatnim poście i pokazałem, że w sumie całkowej istotną rolę odgrywa infimum/supremum które to jest obliczane na podstawie funkcji podcałkowej. Stąd też mój wniosek, że jeśli liczymy całkę z funkcji zawierającej \(\displaystyle{ t}\) to nie możemy od tak sobie wstawić innej zmiennej.
Czy ty wychodzisz z założenia, że jeśli mamy zapis \(\displaystyle{ H(x) = \frac{1}{t} = \frac{1}{x} = \frac{1}{cokolwiek\ co\ jest\ argumentem\ funkcji} }\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: a4karo » 1 sty 2020, o 13:45

Alez skąd

Czy uważasz, że \(\sum_{k=1}^n k\) zależy od \(k\)? Tak samo jest z całką

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Jan Kraszewski » 1 sty 2020, o 13:47

Mondo pisze:
1 sty 2020, o 12:59
Stąd też mój wniosek, że jeśli liczymy całkę z funkcji zawierającej \(\displaystyle{ t}\) to nie możemy od tak sobie wstawić innej zmiennej.
Ależ możemy. Ta funkcja "nie zawiera" (fuj!) \(\displaystyle{ t}\).

Z definicji \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(t)dt=F(b)-F(a),}\) gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Jak widzisz, ta całka nijak nie zależy od \(\displaystyle{ t}\). I dlatego \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(t)dt=\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(kubek\ do\ kawy)d(kubek\ do\ kawy).}\)
Mondo pisze:
1 sty 2020, o 12:59
Czy ty wychodzisz z założenia, że jeśli mamy zapis \(\displaystyle{ H(x) = \frac{1}{t} = \frac{1}{x} = \frac{1}{cokolwiek\ co\ jest\ argumentem\ funkcji} }\)?
Nie. Chodzi o to, że zapis \(\displaystyle{ H(x) = \frac{1}{x}}\) oznacza dokładnie to samo, co zapis \(\displaystyle{ H(t) = \frac{1}{t}.}\)

JK

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 1 sty 2020, o 14:31

Jan Kraszewski pisze:
1 sty 2020, o 13:47
Nie. Chodzi o to, że zapis \(\displaystyle{ H(x) = \frac{1}{x}}\) oznacza dokładnie to samo, co zapis \(\displaystyle{ H(t) = \frac{1}{t}.}\)
No i z tym się oczywiście zgadzam natomiast,
Jan Kraszewski pisze:
1 sty 2020, o 13:47
Z definicji \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(t)dt=F(b)-F(a),}\) gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Jak widzisz, ta całka nijak nie zależy od \(\displaystyle{ t}\)
Częściowo tak ale \(\displaystyle{ F}\) zależy od \(\displaystyle{ f(t)}\) a ta z kolei zależy od \(\displaystyle{ t}\) :roll:

A co gdyby zapis z mojego pierwszego posta był nieco innym - zamiast \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) było by \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dx }\). Czy to by coś zmieniło? Ile wtedy wynosiła by wartośc tej całki a ile jej pochodna \(\displaystyle{ H'(x)}\)?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Jan Kraszewski » 1 sty 2020, o 14:39

Mondo pisze:
1 sty 2020, o 14:31
Częściowo tak ale \(\displaystyle{ F}\) zależy od \(\displaystyle{ f(t)}\) a ta z kolei zależy od \(\displaystyle{ t}\) :roll:
Nieprawda! Funkcja \(\displaystyle{ F}\) zależy od funkcji \(\displaystyle{ f}\), a nie od \(\displaystyle{ f(t)}\) !
Mondo pisze:
1 sty 2020, o 14:31
A co gdyby zapis z mojego pierwszego posta był nieco innym - zamiast \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) było by \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dx }\).
To jest do bani, bo całkujesz funkcję stałą, w dodatku używasz literki \(\displaystyle{ x}\) w dwóch zupełnie różnych znaczeniach (jako zmiennej związanej i jako zmiennej wolnej), a to niedobrze.

JK

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 1 sty 2020, o 15:07

Jan Kraszewski pisze:
1 sty 2020, o 14:39
Mondo pisze:
1 sty 2020, o 14:31
A co gdyby zapis z mojego pierwszego posta był nieco innym - zamiast \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) było by \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dx }\).
To jest do bani, bo całkujesz funkcję stałą, w dodatku używasz literki \(\displaystyle{ x}\) w dwóch zupełnie różnych znaczeniach (jako zmiennej związanej i jako zmiennej wolnej), a to niedobrze.
No tak szczerze to wydaje mi się, iż źródłem mojego zmieszania jest właśnie te zapis \(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) dla mnie też jest do "bani" a przynajmniej bardzo mylący bo \(\displaystyle{ x}\) występuje tutaj w dwóch odrebnych znaczeniach - raz jako zmienna wolna, argument funkcji, a drugi raz jako zmienna związana, przedział całkowania. Co więcej patrząc na to równanie wydaje mi się właśnie, że całkujemy funkcję stałą \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Jan Kraszewski » 1 sty 2020, o 15:28

Mondo pisze:
1 sty 2020, o 15:07
No tak szczerze to wydaje mi się, iż źródłem mojego zmieszania jest właśnie te zapis
\(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt }\) dla mnie też jest do "bani" a przynajmniej bardzo mylący bo \(\displaystyle{ x}\) występuje tutaj w dwóch odrebnych znaczeniach - raz jako zmienna wolna, argument funkcji, a drugi raz jako zmienna związana, przedział całkowania. Co więcej patrząc na to równanie wydaje mi się właśnie, że całkujemy funkcję stałą \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)
To wskazuje, że zupełnie nie rozumiesz tego zapisu. On nie jest do bani, jest jak najbardziej poprawny.

Po pierwsze, zmienna \(\displaystyle{ x}\) występuje w jednym znaczeniu: jako zmienna wolna. Zapis \(\displaystyle{ H(x)=\int_{1}^{x} f(t)dt}\) oznacza, zgodnie z definicją całki oznaczonej, że \(\displaystyle{ H(x)=F(x)-F(1),}\) gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Innymi słowy, funkcja \(\displaystyle{ H}\) opisuje jak zmienia się pole pod ustaloną krzywą wraz ze zmianą jednego z końców przedziału całkowania.

Po drugie, nie całkujesz funkcji stałej. Zapis \(\displaystyle{ \int(...)d\,\red{t}}\) oznacza, że całkując funkcję w nawiasie będziemy traktowali \(\displaystyle{ t}\) jako zmienną niezależną (a wszystkie inne literki jako stałe). Wobec tego zapis \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt}\) oznacza, że całkujemy funkcję \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{t}}\), a to nie jest funkcja stała. Ale literka \(\displaystyle{ t}\) nie jest ważna, możesz zmienną niezależną oznaczyć dowolną inną literką (choć używanie literki \(\displaystyle{ x}\) jest niewskazane, żeby nie mylić niedoświadczonych...), np. pisząc \(\displaystyle{ H(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\text{ą}}d\text{ą}}\) (zgodziłeś się już, że \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{t}}\) oznacza to samo, co \(\displaystyle{ f(\text{ą})=\frac{1}{\text{ą}}}\)).

JK

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 376
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 189 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Mondo » 2 sty 2020, o 20:10

@Jan Kraszewski, bardzo dziękuje za to wyjaśnienie!

Czyli podsumowujac zapis \(\displaystyle{ \int_{1}^{10} \frac{1}{x}dx }\) jest poprawny i oznacza, że w każdej "iteracji" całkowania (myślę tutaj o całce w kontekście nieskończonej symy Riemana, nieskończenie małych pasków dx) \(\displaystyle{ x}\) będzie przyjmował kolejne wartości z przedziału \(\displaystyle{ [1,10]}\). Czy dobrze myślę?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Znaleźć funkcję pierwotną

Post autor: Jan Kraszewski » 2 sty 2020, o 21:15

To dość... opisowe sformułowanie, ale tak, dobrze myślisz.

JK

ODPOWIEDZ