Gdzie popełniłem błąd przy rozwiązywaniu tej całki

[shreder221]

Dzień dobry W ostatni poniedziałek miałem kolokwium z m. in całek i dostałem tam do obliczenia całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{(1+z)^{2}} =}\) Po długim szukaniu odpowiednich podstawień w końcu znalazłem wyliczyłem co trzeba i zadowolony oddałem pracę. Nazajutrz przychodzę na zajęcia i dostaję to zadanie z powrotem. 0% i jedna jedyna uwaga sprawdzającego "pochodna wyniku różna od funkcji podcałkowej". W rozmowie z sprawdzającym usłyszałem że "on nie wie gdzie się pomyliłem bo zrobiłem to inną metodą niż on podawał na zajęciach i nie było szans żeby to mogło być prawidłowe". Możliwe że ma rację ale tak czy inaczej chciałbym wiedzieć gdzie popełniłem błąd a jedyne co mogę usłyszeć od prowadzącego to "zła metoda" bez żadnego uzasadnienia.

Ja ze swojej strony szukałem i nawet znalazłem błędy tylko że większość z dostrzeżonych błędów dotyczył tych stałych które bez problemu można było wyłączyć przed całkę i nie wpływał na jej rozwiązywalność tymi metodami. A jeden błąd tyczył się złego powrotu do zmiennej z co również nie zmienia rozwiązywalności. Błędy zostały pokolorowane i obok zapisałem prawidłowe wyniki.

Dodam że mam prawidłowe rozwiązanie w internecie

W związku z powyższym. Czy ktoś mógłby prześledzić moje rozwiązanie i powiedzieć gdzie popełniłem błędy?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dz}{(1+z)^{2}} =
\left| z= \sin t,dz=\cos t dt\right| = \\
\int_{}^{} \frac{\cos t dt}{(1+\sin^{2}t)^{2}} =
\left| \tg \frac{t}{2}=x, dt= \frac{2dx}{1+x^{2}} ,\cos t= \frac{\color{red}{x^{2} -1}}{1+x^{2} } ,\sin t = \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }\left| \right| \color{red}{1-x^{2}} \right| =\\

\int_{}^{} \frac{2 \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \cdot \frac{2}{1+x^{2}} }{\left( 1+ \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }\right)^{2} } dx =

\int_{}^{} \frac{\color{green}{2} \frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}} }{\left( 1+ \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }\right)^{2} } dx
=}\)

powinno być \(\displaystyle{ \color{green}{4 \frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}}}}\)
\(\displaystyle{

\int_{}^{} \frac{2 \frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}} }{\left( \frac{ \frac{x^{2}+2x+1}{x} }{\frac{x^{2}+1}{x} }\right)^{2} } dx =
\int_{}^{} \frac{2 \frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}} }{\left( \frac{ x^{2}+2x+1 }{x^{2}+1}\right)^{2} } dx =\\
\int_{}^{} \frac{2 \frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}} }{ \frac{ (x+1)^{4} }{(x^{2}+1)^{2} }} dx =

2 \int_{}^{} \frac{x^{2}-1}{(x+1)^{4}} =\\
2 \int_{}^{} \frac{x-1}{(x+1)^{3}}=

\left| x+1=t, dx=dt,x-1=t-2\right| =
\int_{}^{} \frac{2(t-2)dt}{t^{3}} =\\
c-2t^{-1}+\color{blue}{ \frac{2}{t^{2}}} }\)
powinno być \(\displaystyle{ \color{blue}{ \frac{4}{t^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ =
-2(x+1)^{-1}+ \frac{2}{(x+1)^{2}} +c=
-2(\tg \frac{t}{2} +1)^{-1}+ \frac{2}{(\tg \frac{t}{2} +1)^{2}} +c=\\
-2(\arcsin \frac{z}{2} +1)^{-1}+ \frac{2}{(\arcsin \frac{z}{2} +1)^{2}} +c=\\
}\)


Oczywiście cała ostatnia linijka jest źle podstawiona i powinno tam być uwzględniając wszystkie powyższe błędy
\(\displaystyle{ -4(\tg \frac{\arcsin z}{2} +1)^{-1}- \frac{8}{(\tg \frac{\arcsin z}{2} +1)^{2}} +c=}\)

Z góry dziękuję za pomoc

PS
Kolory się tak bugują czy ja źle ich używać bo musiałem specjalnie zamykać latexa żeby kolorowało to co chciałem

[a4karo]

A nie wpadłes na postawienie \(t=z+1\)???

[shreder221]

:p :p Źle przepisałem
Tam powinno być \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{(1+z^{2})^{2}} }\)

[a4karo]

$$\int\frac{dz}{1+z^2}=\left|\begin{matrix}u=\frac{1}{1+z^2} & v'=1\\u'=-\frac{2z}{(1+z^2)^2}& v=z\end{matrix}\right|=\frac{z}{1+z^2}+2\int\frac{z^2+1-1}{(1+z^2)^2}dz=\frac{z}{1+z^2}+2\int\frac{dz}{1+z^2}-2 \red{ \int\frac{dz}{(1+z^2)^2}}$$

Warto znać tę sztuczkę, dzięki której liczy sie całki `\int\frac{dz}{(1+z^2)^n}`

[shreder221]

Po zajęciach sprawdziłem i rzeczywiście taką rekurencję tam znalazłem A wiesz może a4karo gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu?

[Jan Kraszewski]

PS
Kolory się tak bugują czy ja źle ich używać bo musiałem specjalnie zamykać latexa żeby kolorowało to co chciałem

Źle używasz. Powinno być tak \(\displaystyle{ \cos t= \frac{\red{x^{2} -1}}{1+x^{2} }}\) \cos t= \frac{\red{x^{2} -1}}{1+x^{2} }, czyli \red{...}, \blue{...} itd.

JK

[a4karo]

Po zajęciach sprawdziłem i rzeczywiście taką rekurencję tam znalazłem A wiesz może a4karo gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu?

Sorry, ale to, co napisałeś marnie sie czyta

Dodano po 3 godzinach 3 minutach 14 sekundach:
Podstawiles w mianowniku za sinus a nie za sinus kwadrat

Dodano po 1 godzinie 53 minutach 30 sekundach:
A ponadto użycie podstawienia trygonometrycznego wygląda słabo w świetle faktu, że zmienna w calce wcale nie musi przybierać wartości z przedziału ograniczonego jedynką.

No i w końcu zamiana całki z funkcji wymiernej na całkę z funkcji trygonometrycznej po to aby postawieniem uniwersalnym zamienić ją na całkę z funkcji wymiernej wygląda dosyć karkołomnie