Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch całek nieoznaczonych wymiernych:
(W mianowniku wielomian 4 rzędu)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}] \frac{1}{(x^2+2)^2} \dd x}\) oraz
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{6x-1}{(x^2+2x+4)^2} \dd x}\)
Całki wymierne
Całki wymierne
Ostatnio zmieniony 18 gru 2019, o 21:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Całki wymierne
W pewnym sensie tutaj funkcje podcałkowe już są w formie ułamków prostych… Chyba że ktoś chce mieć rozkład w zespolonych.
Rozpiszmy trochę i scałkujmy przez części:
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}=\frac{1}{2}\int\left( \frac{2+x^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\right)\mbox{d}x\\=\frac{1}{2}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\int x\left(\frac{1}{x^{2}+2}\right)' \mbox{d}x\\=\frac{1}{2}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\frac{x}{x^{2}+2}-\frac{1}{4}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}\\=\frac{1}{4}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\frac{x}{x^{2}+2}}\)
i pozostaje przypomnieć, że
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctg\left(\frac{x}{a}\right)+C}\) dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\).
Dodano po 9 minutach 34 sekundach:
Druga całeczka:
\(\displaystyle{ \int\frac{6x-1}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\mbox{d}x=\int -\frac{3}{2}\left(\frac{-4x-4+\frac{14}{3}}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\right)\\=-\frac{3}{2}\int \left(\frac{1}{x^{2}+2x+4}\right)' \mbox{d}x-7\int \frac{\mbox{d}x}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\\=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+4}-7\int\frac{\mbox{d}x}{\left((x+1)^{2}+3\right)^{2}}}\)
i w tej ostatniej całce wykonujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=x+1}\), po czym rozwiązujemy jak tę, którą już wcześniej policzyłem, tj.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left(t^{2}+3\right)^{2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{2}+3-t^{2}}{\left(t^{2}+3\right)^{2}}}\)
i tak dalej…
Rozpiszmy trochę i scałkujmy przez części:
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}=\frac{1}{2}\int\left( \frac{2+x^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\right)\mbox{d}x\\=\frac{1}{2}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\int x\left(\frac{1}{x^{2}+2}\right)' \mbox{d}x\\=\frac{1}{2}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\frac{x}{x^{2}+2}-\frac{1}{4}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}\\=\frac{1}{4}\int\frac{\mbox{d}x}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}\frac{x}{x^{2}+2}}\)
i pozostaje przypomnieć, że
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctg\left(\frac{x}{a}\right)+C}\) dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\).
Dodano po 9 minutach 34 sekundach:
Druga całeczka:
\(\displaystyle{ \int\frac{6x-1}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\mbox{d}x=\int -\frac{3}{2}\left(\frac{-4x-4+\frac{14}{3}}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\right)\\=-\frac{3}{2}\int \left(\frac{1}{x^{2}+2x+4}\right)' \mbox{d}x-7\int \frac{\mbox{d}x}{\left(x^{2}+2x+4\right)^{2}}\\=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+4}-7\int\frac{\mbox{d}x}{\left((x+1)^{2}+3\right)^{2}}}\)
i w tej ostatniej całce wykonujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=x+1}\), po czym rozwiązujemy jak tę, którą już wcześniej policzyłem, tj.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left(t^{2}+3\right)^{2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{2}+3-t^{2}}{\left(t^{2}+3\right)^{2}}}\)
i tak dalej…
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całki wymierne
Premislav mogłeś chociaż wyprowadzić wzór redukcyjny
\(\displaystyle{ \int{\frac{\mbox{d}x}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }}= \frac{1}{a^2} \int{\frac{a^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }\mbox{d}x}\\
= \frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{a^2+x^2-x^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
= \frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}-\int{ \frac{x^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}+\int{ \frac{x}{2n-2} \frac{\left(-\left( n-1\right) \cdot 2x \right) }{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}+\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }- \frac{1}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x} \right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }+\frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x} \right]\\
\int{\frac{\mbox{d}x}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }}= \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }+\frac{1}{a^2} \cdot\frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}\\
}\)
Inną możliwością jest metoda Ostrogradskiego wydzielenia części wymiernej całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{\mbox{d}x}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }}= \frac{1}{a^2} \int{\frac{a^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }\mbox{d}x}\\
= \frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{a^2+x^2-x^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
= \frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}-\int{ \frac{x^2}{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[ \int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}+\int{ \frac{x}{2n-2} \frac{\left(-\left( n-1\right) \cdot 2x \right) }{\left( x^2+a^2\right)^{n} } \mbox{d}x}\right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}+\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }- \frac{1}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x} \right] \\
=\frac{1}{a^2}\left[\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }+\frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x} \right]\\
\int{\frac{\mbox{d}x}{\left( x^2+a^2\right)^{n} }}= \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} }+\frac{1}{a^2} \cdot\frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{1}{\left( x^2+a^2\right)^{n-1} } \mbox{d}x}\\
}\)
Inną możliwością jest metoda Ostrogradskiego wydzielenia części wymiernej całki