Całka podwójna - zmiana granic całkowania

[Przybyl]

Dzień dobry. Nie mogę za bardzo znaleźć odpowiedzi na mój temat więc koniec końców piszę tutaj. Mam policzyć taką całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{-3}^{3}\int\limits_{ \sqrt{3}\left|x \right| }^{ \sqrt{36-x^2} } \sqrt{x^2+y^2} dx dy}\)
Wydaje mi się, że najłatwiej będzie skorzystać ze współrzędnych biegunowych. Zapomniałem jednak jak się ustala \(\displaystyle{ \phi}\) oraz \(\displaystyle{ r}\) jak również nie pamiętam jak zmienić granice całkowania. Z rysunku wydaje mi się, że \(\displaystyle{ r\in[0, 6]}\) a \(\displaystyle{ \phi\in[0,\pi]}\) Mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak to zrobić ?

[kerajs]

Obawiam się, że Twój rysunek jest niedokładny.

\(\displaystyle{ \int\limits_{-3}^{3}\int\limits_{ \sqrt{3}\left|x \right| }^{ \sqrt{36-x^2} } \sqrt{x^2+y^2} dx dy}\)

\(\displaystyle{ = \int_ {\frac{ \pi }{3} }^{\frac{ 2\pi }{3} } \left( \int_{0}^{6} \sqrt{r^2}r \dd r \right) \dd \phi =...}\)

[Przybyl]

Ekstra Mógłbyś mi powiedzieć jak to się robi ? Z rysunku to odczytałeś ? z czegoś innego ? Miałęm to na zajęciach na drugim roku ale kompletnie nie pamiętam, a jestem do końca stycznia w miejscu gdzie nie mam dostępu do notatek

[kerajs]

Tak, rysunek jest bardzo pomocny, choć czasem kąt można wyliczyć (np: z założeń nałożonych na zadanie) .

Tu akurat \(\displaystyle{ y= \sqrt{3}\left| x\right|}\) to dwie półproste. Fragment prostej \(\displaystyle{ y= \sqrt{3}x }\) leżący w I ćwiartce i Fragment prostej \(\displaystyle{ y= -\sqrt{3}x }\) leżący w II ćwiartce. Kąty graniczne to kąty pod jakim nachylone są te półproste do dodatniej półosi OX, a to wyznacza współczynnik kierunkowy prostej.
\(\displaystyle{ \tg \alpha _1= \sqrt{3} \Rightarrow \alpha _1=60^{\circ} \Rightarrow \alpha _1= \frac{ \pi }{3} }\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha _2= -\sqrt{3} \Rightarrow \alpha _2=-60^{\circ} \Rightarrow \alpha _2= \frac{ -\pi }{3} }\)
ponieważ ten kąt jest z IV a nie drugiej ćwiartki to dodaję jeden okres tangensa
\(\displaystyle{ \alpha _2= \frac{ -\pi }{3}+ \pi = \frac{ 2\pi }{3}}\)

[Przybyl]

Okay, tutaj była prosta, a jak podejść do całki
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{- \sqrt{1-x^2} }^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2)^2 dx dy}\)
Z rysunku wydaje mi się, że \(\displaystyle{ r\in[0,1], \phi\in[0,2\pi]}\) jednak nadal nie wiem jak tu dobrać granice całkowania. Można też do tego zadania podejść w sposób taki wydaje mi się:
\(\displaystyle{ 4*\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2)^2 dx dy}\)
Jednak dalej nie wiem jak przy podstawieniu współrzędnych biegunowych określić granice całek

[kerajs]

\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{- \sqrt{1-x^2} }^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2)^2 dx dy}\)
Z rysunku wydaje mi się, że \(\displaystyle{ r\in[0,1], \phi\in[0,2\pi]}\) jednak nadal nie wiem jak tu dobrać granice całkowania.

I dobrze Ci się wydaje, gdyż całkujesz po kole ograniczonym okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Stąd:
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{2 \pi } \left( \int_{0}^{1}(r^2)^2r \dd r \right) \dd \phi}\)

Można też do tego zadania podejść w sposób taki wydaje mi się:
\(\displaystyle{ 4*\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2)^2 dx dy}\)

Owszem, można i tak, gdyż całkujesz po ćwiartce koła. Wtedy :
\(\displaystyle{ ...=4 \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{1}(r^2)^2r \dd r \right) \dd \phi}\)