Całki oznaczone przed podstawienie a różnowartościowość

[shreder221]

Dzień dobry

Liczę całkę oznaczoną poprzez podstawienie. Czy konieczne jest takie dobranie podstawienia aby w określonych granicach podstawienie było iniekcją?

[a4karo]

W całce `\int_{_1}^1dx` robimy podstawienie `t=1-x^2,\ dt=-2xdx,\ dx=\frac{dt}{-2\sqrt{1-t}` i dostajemy całkę `-\frac{1}{2}\int_0^0\frac{dt}{\sqrt{1-t}}`

Oczywiście to żarcik, ale pokazuje niespodzianki jakie możemy napotkać

[shreder221]

Okej ten przykład rzeczywiście jest ciekawy :p i ewidentnie z niego wynika że iniekcja w obrębie granic jest stosunkowo ważna.

To jeszcze się dopytam . W poniższym twierdzeniu chyba nie ma nigdzie mowy o takich ograniczeniach?

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez podstawianie całek oznaczonych
Jeżeli \(\displaystyle{ f:[a,b]\to\RR}\) jest funkcją ciągłą, natomiast \(\displaystyle{ φ:[α,β]→[a,b]}\) jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) taką, że \(\displaystyle{ φ(α)=a}\) oraz \(\displaystyle{ φ(β)=b}\), to zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx= \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi '(t) dt}\)

[Dasio11]

Ogólnie: to nie różnowartościowość podstawienia jest istotna, tylko ścisłe stosowanie twierdzenia, na które się powołuje:

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez podstawianie całek oznaczonych
Jeżeli \(\displaystyle{ f:[a,b]\to\RR}\) jest funkcją ciągłą, natomiast \(\displaystyle{ \varphi:[\alpha,\beta] \to [a,b]}\) jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) taką, że \(\displaystyle{ \varphi(\alpha)=a}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(\beta)=b}\), to zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx= \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi '(t) dt}\)

(Założenie że \(\displaystyle{ \varphi(\alpha) = a}\) i \(\displaystyle{ \varphi(\beta) = b}\) nie jest istotne; w ogólności zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int \limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x) \, \dd x = \int \limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, \dd t}\). )

Poprawne jest więc na przykład takie wyliczenie:

\(\displaystyle{ \int \limits_{-1}^1 e^{t^3-t} \cdot (3t^2-1) \, \dd t = \begin{array}{|l|} \phantom{\mathrm{d}}x = t^3-t \\ \dd x = (3t^2-1) \, \dd t \end{array} = \int \limits_0^0 e^x \, \dd x = 0,}\)

łatwo bowiem widać, że jest ono szczególnym przypadkiem twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, mianowicie takim gdzie \(\displaystyle{ f(x) = e^x, \varphi(t) = t^3-t}\).

Natomiast podany wcześniej przykład - oczywiście rozumiem, że przytoczony został w charakterze żartu/przestrogi - z matematycznego punktu widzenia jest bełkotem, bo naśladuje procedurę opartą o rzeczone twierdzenie, ale w rzeczywistości nijak do niego nie przystaje. Źródłem błędu jest więc niedokładność w stosowaniu twierdzenia i nie ma to żadnego związku z różnowartościowością.