Całki z pierwiastkami

[albanczyk123456]

Witam, jaki jest algorytm na obliczenie tego typu całek?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x^{3}+2x^{2}-8x+1 } dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{W(x}) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{x^{2}+3x-2} dx }\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt[n]{W(x)} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x^{2}+4x+7}}{x^{3}+8x+2} dx }\)
Gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }\), a \(\displaystyle{ W(x) }\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.
Interesują mnie algorytmy, metody lub źródła gdzie mogę takie znaleźć.

[Janusz Tracz]

W pełni ogólnych algorytmów nie ma. W szczególnych przypadkach tj. podpunkt \(\displaystyle{ 3}\) można próbować sprowadzić to do różniczki dwumiennej. Oczywiście w innych przypadkach też można próbować bo czasem może się udać.

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33970

lub w przypadku \(\displaystyle{ 5}\) można spróbować:

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_wsp%C3%B3%C5%82czynnik%C3%B3w_nieoznaczonych

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82kowanie_przez_podstawienie

Natomiast w pełnej ogólności wątpię, żeby istniało coś sensownego wszak \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt[]{x^3+1} \dd x }\) jest nieelementarna, \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt[3]{x^2+1} \dd x }\) również.

[Premislav]

No \(\displaystyle{ \sqrt{W(x)}}\) to w ogólności bez szans ewidentnie. Podstawienia Eulera, metoda współczynników nieoznaczonych, podstawienia stosowane przy całkowaniu różniczki dwumiennej.

W Fichtenholzu powinno być wszystko, co trzeba, jest też np. zbiór zadań Banasia i Wędrychowicza z rozwiązaniami.

A akurat na oko widać, że całka
\(\displaystyle{ \int\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}\mbox{d}x}\) jest nieelementarna. Można to ściśle zweryfikować, korzystając z kryterium Czebyszewa tyczącego się różniczki dwumiennej po pomocniczym podstawieniu \(\displaystyle{ t=x+\frac{3}{2}}\).