Matematyka.pl

Czy poprawne jest podstawienie:
\(\displaystyle{ \int (3+2x^{1\over4})^3dx = \left| t = 2x^{1\over4}+3 \Rightarrow dt = {{dx} \over {2x^{3\over4}}} \Rightarrow dx= 2 \cdot {({{t-3} \over 2})^3} dt \right| }\)

Chodzi mi o to, że już na liczeniu pochodnej przy podstawieniu, jako wartość x do pochodnej "wkładam" wartość t określoną na podstawie x?

\(\displaystyle{ 3 + 2x^{\frac{1}{4}} = t \rightarrow x^{\frac{1}{4}} = \frac{t-3}{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot x ^{-\frac{3}{4}} dx = dt }\)

Stąd

\(\displaystyle{ dx = 2x^{\frac{3}{4}} dt = 2 \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^3 dt = 2 \left(\frac{t -3}{2}\right)^3 dt = 2 \frac{(t-3)^3}{8}dt = \frac{(t-3)^3}{4}dt .}\)

Podstawienie poprawne.

janusz47 pisze: ↑23 lis 2019, o 17:59 \(\displaystyle{ 3 + 2x^{\frac{1}{4}} = t \rightarrow x^{\frac{1}{4}} = \frac{t-3}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2\cdot x ^{-\frac{3}{4}} dx = dt }\)

Stąd

\(\displaystyle{ dx = 2\cdot x^{\frac{3}{4}} dt = 2\cdot \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^3 dt = 2\cdot \left(\frac{t -3}{2}\right)^3 dt = \frac{(t-3)^3}{4}.}\)

Podstawienie poprawne.

Nie chodzi mi tyle o część obliczeniową, a bardziej o samą "rozsądność" takiego podstawienia - mnożymy w końcu coś bardzo małego - dx, przez jakąś zmienną, nie wiem na ile takie podstawianie jest "matematycznie ładne"

Co to znaczy matematycznie ładne? Jest poprawne.