Oblicz całkę podwójną z cechy

[Kate2410]

Mam do policzenia całkę po obszarze D : \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} [x-y] dx dy }\) gdzie \(\displaystyle{ D=[0,2] \times [0,2] }\)
Narysowałam sobie wykres cechy granice \(\displaystyle{ x }\) łatwo odczytać , ale co z \(\displaystyle{ y }\) ? jak napisać jego granice całkowania ?

[a4karo]

A po co? Prościej policzyć pola paru prostych figur geometrycznych i pomnożyć przez wartości funkcji w nich.

[Kate2410]

Prościej policzyć pola paru prostych figur geometrycznych i pomnożyć przez wartości funkcji w nich.

Nie do końca wiem co masz na myśli i jak to zapisać

[a4karo]

Narysuj sobie w kwadracie te obszary gdzie funkcja przyjmuje wartości \(-2, -2, -, 1, 2\)

Dodano po 6 godzinach 5 minutach 31 sekundach:
Miało być \(-2, - 1, 0, 1, 2\)

[Kate2410]

Mam narysowane są to odpowiednio "odcinki" na \(\displaystyle{ -2,-1,0,1,2}\) tak jak zwykły wykres cechy tak ? I co dalej nie mam kompletnie pomysłu ?

[Jan Kraszewski]

Mam narysowane są to odpowiednio "odcinki" na \(\displaystyle{ -2,-1,0,1,2}\) tak jak zwykły wykres cechy tak ?

Nie. Masz narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ f:[0,2]\times[0,2]\to\RR, f(x,y)=[x-y].}\) Ponieważ wykresy trójwymiarowe są trudne do rysowania, więc a4karo zaproponował Ci zamiennik:

Narysuj sobie w kwadracie te obszary gdzie funkcja przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 2, - 1, 0, 1, 2}\)

Czyli pięć obszarów, odpowiadających wszystkim możliwym wartościom funkcji \(\displaystyle{ f}\). A potem liczysz objętości brył.

JK

[janusz47]

Z definicji wartości bezwzględnej

\(\displaystyle{ |x-y| = \begin{cases} x-y \ \ \mbox{gdy} \ \ x-y \geq 0 \ \ (y \leq x ) \\ -x+y \ \ \mbox{gdy} \ \ x -y <0 \ \ (y > x) \end{cases} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \iint_{D}|x-y|dxdy = \iint_{[0,2]\times [0,2]} |x - y|dydx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}|x-y|dydx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}(x-y)dy dx + \int_{0}^{2}\int_{x}^{2}(-x +y) dydx = ... = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}. }\)

[Kate2410]

Z definicji wartości bezwzględnej

\(\displaystyle{ |x-y| = \begin{cases} x-y \ \ \mbox{gdy} \ \ x-y \geq 0 \ \ (y \leq x ) \\ -x+y \ \ \mbox{gdy} \ \ x -y <0 \ \ (y > x) \end{cases} }\)

Niestety to nie wartość bezwzględna tylko cecha \(\displaystyle{ [x-y]}\)

Dodano po 7 minutach 9 sekundach:

Czyli pięć obszarów, odpowiadających wszystkim możliwym wartościom funkcji \(\displaystyle{ f}\). A potem liczysz objętości brył.

A mógłbyś rozpisać jakie będą granice całkowania , sprawdzę czy jest to zgodne z moim rysunkiem.

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś rozpisać jakie będą granice całkowania , sprawdzę czy jest to zgodne z moim rysunkiem.

Ale ja nic nie całkuję, więc nie ma granic całkowania. Ta całka to objętość bryły pomiędzy wykresem i płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\). Ta bryła składa się z jednego graniastosłupa nad płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) (objętość z plusem) i dwóch pod nią (objętość z minusem). Nad płaszczyzną jest graniastosłup o podstawie trójkąta, a te pod mają za podstawy trójkąt i trapez.

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ \iint_{D} \lfloor x - y \rfloor dxdy }\)

Dokonujemy zamiany zmiennych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u = x - y \\ v = y \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = u + v, \\ y = v \end{cases} }\)

Jakobian przekształcenia

\(\displaystyle{ Jac(u,v) = \left | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 1 \neq 0 }\)

Kwadrat \(\displaystyle{ D }\) w tym przekształceniu transformuje się na trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ R }\) o podstawie \(\displaystyle{ (0,-2), ( 0,2) }\) i ramionach \(\displaystyle{ (0,-2), (2,0) ; (0,2), (2,0). }\)

\(\displaystyle{ \iint_{D} \lfloor x - y \rfloor dxdy = \int_{0}^{2}\lfloor u \rfloor \left( \int_{u-2}^{-u +2} dv \right ) du = \int_{0}^{2}\lfloor u \rfloor](-u +2-u +2)du
= 2\int_{0}^{2} \lfloor u \rfloor (2-u) du = 2\int_{1}^{2}u( 2- u)du =\\ = 2\left( 4 - \frac{8}{3}-1 +\frac{1}{3}\right) =\frac{4}{3}. }\)

[Jan Kraszewski]

Dużo prostsza metoda a4karo daje wynik \(\displaystyle{ -2.}\)

Kwadrat \(\displaystyle{ D }\) w tym przekształceniu transformuje się na trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ R }\) o podstawie \(\displaystyle{ (0,-2), ( 0,2) }\) i ramionach \(\displaystyle{ (0,-2), (2,0) ; (0,2), (2,0). }\)

\(\displaystyle{ \iint_{D} \lfloor x - y \rfloor dxdy = \int_{0}^{2}\lfloor u \rfloor \left( \int_{u-2}^{-u +2} dv \right ) du }\)

A to wygląda podejrzanie.

JK

[janusz47]

Prosze pokazać tą metodę

[Jan Kraszewski]

Prosze pokazać tą metodę

Masz ją kilka postów wyżej:

Ta całka to objętość bryły pomiędzy wykresem i płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\). Ta bryła składa się z jednego graniastosłupa nad płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) (objętość z plusem) i dwóch pod nią (objętość z minusem). Nad płaszczyzną jest graniastosłup o podstawie trójkąta, a te pod mają za podstawy trójkąt i trapez.

JK

[janusz47]

Dzięki! Poprawię całkę po zajęciach.

[Kate2410]

Ale ja nic nie całkuję, więc nie ma granic całkowania. Ta całka to objętość bryły pomiędzy wykresem i płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\). Ta bryła składa się z jednego graniastosłupa nad płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) (objętość z plusem) i dwóch pod nią (objętość z minusem). Nad płaszczyzną jest graniastosłup o podstawie trójkąta, a te pod mają za podstawy trójkąt i trapez.

Jakos tego nie widzę , mógłbyś jakoś bardziej to opisać zobrazować?