Całka po obszarze

[jul1a]

Obliczyć całkę niewłaściwą: \(\displaystyle{ \int \int_{y \ge x^{2} + 1} \dfrac{dxdy}{x^{4} + y^{2} }}\)
Jak się liczy takie całki po obszarach? Nie rozumiem w jaki sposób wyznaczyć ograniczenia \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mając tylko funkcję \(\displaystyle{ y \ge x^{2} + 1}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ \iint _{y\geq x^2 +1} \frac{dx dy}{x^4 +y^2} = \int_{-\infty}^{0} dx \int_{x^2 +1}^{\infty} \frac{dy}{x^4+ y^2} + \int_{0}^{\infty} dx \int_{x^2 +1}^{\infty} \frac{dy}{x^4+ y^2} = 2\int_{0}^{\infty} dx \int_{x^2 +1}^{\infty} \frac{dy}{x^4+ y^2}. }\)

Całkę wewnętrzną obliczamy, wyłączając \(\displaystyle{ \frac{1}{x^4} }\) przed znak całki i sprowadzamy do całki z arkusa tangensa przez podstawienia:

\(\displaystyle{ \frac{y}{x^2} = t, \ \ \frac{dy}{x^2} = dt. }\)

Pamiętamy o zmianie dolnej granicy całkowania.

[jul1a]

Doszłam do momentu : \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \left( \dfrac{\pi}{2} \dfrac{1}{x^{4}} - \dfrac{1}{x^{4}} \arctg\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \right) dx}\) dalej trzeba rozłożyć całkę na przedziały \(\displaystyle{ (0,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) jednak potem nie potrafię wyliczyć całki z \(\displaystyle{ \dfrac{1}{x^{4}} \arctg\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }\)

[janusz47]

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2}\left [ \frac{\pi}{2} - \arctg \left (\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right) \right]dx = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} \arctg \left ( \frac{x^2}{x^2 +1}\right) dx }\)

Proszę zastosować metodę całkowania przez części.