Obliczyć powierzchnie między krzywymi

[Unforg1ven]

Oblicz powierzchni pomiędzy krzywą \(\displaystyle{ (x-1)^2(x^2+y^2)=ax^2}\), \(\displaystyle{ a\neq 0}\) oraz krzywą \(\displaystyle{ x=1}\).

[kerajs]

Dla \(\displaystyle{ a<0}\) krzywa degeneruje się do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) więc poniżej przyjmuję iż \(\displaystyle{ a>0}\) .
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) równanie jest sprzeczne.
Krzywa:
\(\displaystyle{ y^2=x^2( \frac{a}{(x-1)^2}-1 ) \ \ \wedge \ \ x \neq 0}\)
jest symetryczna względem osi OX więc punkty krzywej na niej leżące będą ograniczeniami obszaru.
\(\displaystyle{ x^2( \frac{a}{(x-1)^2}-1 )=0\\
x=0 \ \ \vee \ \ x=1- \sqrt{a} \ \ \vee \ \ x=1+ \sqrt{a} }\)

1)
dla \(\displaystyle{ a>1}\) zgodne z treścią zadania są obszary:
a)
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1 \\
- \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{1-x} \le y \le \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{1-x} }\)
b)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 1+ \sqrt{a} \\
- \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{x-1} \le y \le \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{x-1} }\)

2)
dla \(\displaystyle{ 0<a<1}\) zgodne z treścią zadania są obszary:
a)
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{a} \le x \le 1 \\
- \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{1-x} \le y \le \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{1-x} }\)
b)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 1+ \sqrt{a} \\
- \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{x-1} \le y \le \frac{x \sqrt{a-(x-1)^2} }{x-1} }\)

Sam zdecyduj który obszar policzysz.

PS
Obliczenia ciut uprasza fakt, iż pole pod osią OX jest takie samo jak nad nią.