Metoda uzmiennienia stałej i przwidywania

[retleh10]

Rozwiązać metoda uzmiennienia stałej i przwidywania.
Proszę o sprawdzenie 2 metod:
\(\displaystyle{ y' -2xy=0\ (RJ)\\
p(x)=-2x\\
\int_{}^{} p(x)= -x^{2} \\
y=Ce^{ x^{2} }\ (RORJ)}\)

Uzmiennienie stałej:
\(\displaystyle{ y' =C'(x)e^{ x^{2} } +C(x)2xe^{ x^{2} }\\
C'(x)e^{ x^{2} }+C(x)2xe^{ x^{2} }−C(x)2xe^{ x^{2} }=x\\
C'(x)e^{ x^{2} }=x\\
C'(x)=xe^{ -x^{2} }\\
C(x)= \int_{}^{}xe^{ -x^{2} }=− \frac{1}{2} e^{ -x^{2} } }\)

\(\displaystyle{ y=C(x)y=C(x)e^{ x^{2} } \\
y=- \frac{1}{2} e^{ -x^{2} }\cdot e^{ -x^{2} }=- \frac{1}{2}\\
y=C e^{ -x^{2} }- \frac{1}{2} }\)

Czy tu jest gdzieś błąd i czy to w ogóle dobrze ?

Metoda przewidywania:
\(\displaystyle{ (RN)\ y'-2xy=x \\
(RJ)\ y'-2xy=0 \\
(RORJ)\ y=Ce^{ x^{2} }\\
q(x)=x\\
(RSRN)\ y=A\\
y'=0 \\
0-2xA=x\\
-2Ax=x\\
-2A=1 \Rightarrow A=- \frac{1}{2} }\)
Proszę o pomoc

[janusz47]

Nie podano równania różniczkowego, które należy rozwiązać metodą uzmiennienia stałej i przewiywania.

Domyślamy się, że jest ono w postaci

\(\displaystyle{ y' -2xy = x }\)

W metodzie uzmienniania stałej

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{2}e^{-x^2}\cdot e^{x^2} = -\frac{1}{2}.}\)

W metodzie przewidywania - przewidywany wielomian liniowy powinien być w postaci:

\(\displaystyle{ q(x) = ax + b. }\)

\(\displaystyle{ a = 0, \ \ b = -\frac{1}{2}. }\)

[retleh10]

A dlaczego wynik metody uzmiennienia stałej jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) bez \(\displaystyle{ -}\)?

[janusz47]

Jest z minusem.

[retleh10]

Okej, a jak jest z tą metodą przewidywania? Skąd wiadomo że \(\displaystyle{ q(x)=ax+b}\) i jak wyliczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ q(x) = ax +b }\)

\(\displaystyle{ q'(x) = a }\)

\(\displaystyle{ a - 2x(ax+b) = x }\)

\(\displaystyle{ 2ax^2 - 2bx + a \equiv 0x^2 +1x }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a = 0 \\ -2b =1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 0 \\ b= -\frac{1}{2} \end{cases} }\)


\(\displaystyle{ q(x) = 0 \cdot x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.}\)

Ja w Twoim wieku, kiedy uczyłem się metody przewidywania zaopatrzyłem się w tabelkę, w której znajdowały się funkcje wielomianowe, wykładnicze i ich kombinacje - quasi wielomiany, występujące po prawej stronie równań różniczkowych niejednorodnych i postacie w jakich te funkcje przewidujemy. Warto zapoznać się z taką tabelką.

[retleh10]

Dzięki za wyjaśnienie