Zbadac zbieżność
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x \cdot \sin^{2}x} \mbox{d}x}\)
zbieżność całki
-
klimat
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
zbieżność całki
Ostatnio zmieniony 17 paź 2019, o 18:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: zbieżność całki
Mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}(a+k\pi)=\sin^{2} (a)}\). Rozważmy przedziały postaci
\(\displaystyle{ \left[2k\pi-\frac{1}{k}, 2k\pi+\frac{1}{k}\right], \ k=1,2\ldots}\). W przedziałach tych mamy
\(\displaystyle{ x\sin^{2} x\le \left(2k\pi+\frac{1}{k}\right)\sin^{2}\left(\frac{1}{k}\right)\le \frac{2k\pi+\frac{1}{k}}{k^{2}}<\frac{8}{k}}\)
gdzie korzystamy z nierówności \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\).
A zatem w rzeczonych przedziałach zachodzi
\(\displaystyle{ e^{-x\sin^{2}x}>e^{-\frac{8}{k}}\ge e^{-8}}\) i każdy taki przedział ma długość \(\displaystyle{ 2k\pi+\frac{1}{k}-\left(2k\pi-\frac{1}{k}\right)=\frac{2}{k}}\). Ponieważ szereg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}e^{-8}}\) jest rozbieżny (bo szereg harmoniczny jest rozbieżny), więc wyjściowa całka jest rozbieżna. Gdyby bowiem była zbieżna, to zbieżny byłby też szereg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi-\frac{1}{k}}^{2k\pi+\frac{1}{k}}e^{-x\sin^{2}x}\mbox{d}x\right)}\), a szereg ten jest wobec powyższych szacowań rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
\(\displaystyle{ \left[2k\pi-\frac{1}{k}, 2k\pi+\frac{1}{k}\right], \ k=1,2\ldots}\). W przedziałach tych mamy
\(\displaystyle{ x\sin^{2} x\le \left(2k\pi+\frac{1}{k}\right)\sin^{2}\left(\frac{1}{k}\right)\le \frac{2k\pi+\frac{1}{k}}{k^{2}}<\frac{8}{k}}\)
gdzie korzystamy z nierówności \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\).
A zatem w rzeczonych przedziałach zachodzi
\(\displaystyle{ e^{-x\sin^{2}x}>e^{-\frac{8}{k}}\ge e^{-8}}\) i każdy taki przedział ma długość \(\displaystyle{ 2k\pi+\frac{1}{k}-\left(2k\pi-\frac{1}{k}\right)=\frac{2}{k}}\). Ponieważ szereg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}e^{-8}}\) jest rozbieżny (bo szereg harmoniczny jest rozbieżny), więc wyjściowa całka jest rozbieżna. Gdyby bowiem była zbieżna, to zbieżny byłby też szereg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_{2k\pi-\frac{1}{k}}^{2k\pi+\frac{1}{k}}e^{-x\sin^{2}x}\mbox{d}x\right)}\), a szereg ten jest wobec powyższych szacowań rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.