Całka iterowana

[El3na]

Zamienić całkę podwójną po obszarze D na całkę iterowaną, gdy D jest ograniczony podanymi krzywymi:
\(\displaystyle{ x=0, x^2+y^2=1, y=\sqrt{x}, y\geq 0 }\)
W jaki sposób wyznaczyć przedział x i y? Próbwałam porównać krzywe ze sobą,ale wydaje mi się,że trzeba tu skorzystać z współrzędnych biegunowych.W jaki sposób wyznaczyć \(\displaystyle{ \phi }\)?

[Janusz Tracz]

Współrzędne biegunowe nie są konieczne (a wręcz dość uciążliwe choć to jeszcze zależy co całkujesz). Tu całkę terowaną można rozbić na dwa obszary

\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int_{}^{} f(x,y)\dd x \dd y=\int_{0}^{a} \int_{0}^{ \sqrt{x} } f(x,y)\dd x \dd y+\int_{a}^{1} \int_{0}^{ \sqrt{x^2-1} } f(x,y)\dd x \dd y}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) to rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \sqrt{x^2-1} }\)

[El3na]

Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \geq 1 }\) więc dlaczego przedziałem całkowania jest \(\displaystyle{ [a,1]}\)?

[Janusz Tracz]

Przepraszam \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \sqrt{1-x^2} }\) miało być, wynika to z przyrównania równania górnej połówki okręgu do pierwiastka. Rozwiązaniem tego jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} }\)

[janusz47]

Trudno zgodzić się ze stwierdzeniem " współrzędne biegunowe są niekonieczne ( a wręcz uciążliwe..." kiedy nie znamy postaci wzoru funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y), }\) a obszar całkowania \(\displaystyle{ D }\) jest typowym obszarem dla współrzędnych biegunowych.

\(\displaystyle{ \iint_{(D)} f(x,y) dx dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{\sqrt{r\cos \phi}} r f(r\cos \phi, r\sin \phi)dr d\phi.}\)

[a4karo]

Ten pierwiastek z kosinusa może zaowocować niezłymi fajerwerkami

Dodano po 5 godzinach 24 minutach 28 sekundach:
A kąty z pewnością nie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi/4}\). Granice dla \(\displaystyle{ r}\) tez są skopane