Całka z funkcji złożonej niewymiernej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Yassamet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 29 cze 2013, o 14:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z funkcji złożonej niewymiernej

Post autor: Yassamet »

Hej!
Zaatakowano mnie dzisiaj taką całką i nie mam na nią kompletnie pomysłu. Pomożecie?

\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_a^b\int_{3|x|}^\sqrt{36-x^2}\sqrt{x^2+y^2}dydx}}\)

Zaczęłam liczyć najpierw całkę wewnętrzną, tj potraktowałam \(\displaystyle{ x}\) jako parametr. I uznałam, że spróbuję pójść tak:

\(\displaystyle{ ((x^2+y^2)^{3/2})' = (x^2+y^2)^{1/2} * 2y}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2y} ((x^2+y^2)^{3/2})' = (x^2+y^2)^{1/2}}\)
Ale po podstawieniu do całki wewnętrznej niewiele mi to dało. Więęęc... szukam kogoś z pomysłem.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całka z funkcji złożonej niewymiernej

Post autor: Premislav »

Tutaj powinno zapracować I podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \displaystyle{\int\sqrt{x^2+y^2}\mbox{d}y=\left|\begin{array}{ccc} \sqrt{x^2+y^2}=t-y\\y=\frac{t^2-x^2}{2t} \\\mbox{d}y =\frac{t^2+x^2}{2t^2}\mbox{d}t\end{array}\right| =\int \left(t-\frac{t^2-x^2}{2t}\right)\cdot \frac{t^2+x^2}{2t^2}\mbox{d}t\\=\int \frac{(t^2+x^2)^2}{4t^3}\mbox{d}t=\int\frac{t^4+2t^2x^2+x^4}{4t^3}\mbox{d}t\\=\frac{t^2}{8}+\frac{1}{2}x^2\ln|t|-\frac{x^4}{8t^2}+C\\=\frac {1}{ 8}\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+\frac {1}{2}x^2\ln\left|y+\sqrt{x^2+y^2}\right|-\frac{1}{8}\frac{x^4}{\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2}+C}}\)

Prawdopodobnie jednak, ze względu na ten wszechobecny \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\), wygodniej byłoby skorzystać ze współrzędnych biegunowych…
ODPOWIEDZ