\[\int\frac{\sqrt{6x-x^2}}{6-2x}dx\]
Jak ugryźć taką całkę?
Całka z funkcji niewymiernej
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Całka z funkcji niewymiernej
Na przykład III podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \displaystyle{\int\frac{\sqrt{6x-x^2}}{6-2x}dx=\left|\begin{array}{cccc}\sqrt{6x-x^2}=(x-6)t\\x=(6-x)t^2\\x=\frac{6t^2}{1+t^2}\\ \mbox{d}x =\frac{12t}{(1+t^2)^2}\mbox{d}t \end{array}\right|=\int \frac{\frac{-6t}{1+t^2}}{6-\frac{12t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{12t}{(1+t^2)^2}\mbox{d} t}}\)
Całki z funkcji wymiernej nie chce mi się liczyć, ale wierzę, że sobie z tym poradzisz.
\(\displaystyle{ \displaystyle{\int\frac{\sqrt{6x-x^2}}{6-2x}dx=\left|\begin{array}{cccc}\sqrt{6x-x^2}=(x-6)t\\x=(6-x)t^2\\x=\frac{6t^2}{1+t^2}\\ \mbox{d}x =\frac{12t}{(1+t^2)^2}\mbox{d}t \end{array}\right|=\int \frac{\frac{-6t}{1+t^2}}{6-\frac{12t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{12t}{(1+t^2)^2}\mbox{d} t}}\)
Całki z funkcji wymiernej nie chce mi się liczyć, ale wierzę, że sobie z tym poradzisz.
-
41421356
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Całka z funkcji niewymiernej
Dziękuję za pomoc. Ta całka pojawiła mi się po drodze, gdy liczyłem całkę:
\[\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}dx\]
No i ta całka, o którą zapytałem na początku na owym przedziale robi się niewłaściwa. Niemniej jednak funkcja podcałkowa jest nieparzysta po odpowiednim przesunięciu. Czy mogę stąd od razu wywnioskować (bez liczenia granic dla całek niewłaściwych), że wartość tej całki oznaczonej wynosi zero? Tj:
\[\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{6x-x^2}}{6-2x}dx=0\]
\[\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}dx\]
No i ta całka, o którą zapytałem na początku na owym przedziale robi się niewłaściwa. Niemniej jednak funkcja podcałkowa jest nieparzysta po odpowiednim przesunięciu. Czy mogę stąd od razu wywnioskować (bez liczenia granic dla całek niewłaściwych), że wartość tej całki oznaczonej wynosi zero? Tj:
\[\int\limits_{2}^{4}\frac{\sqrt{6x-x^2}}{6-2x}dx=0\]
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Całka z funkcji niewymiernej
A to tę całkę się robi znacznie sprytniej i nie trzeba w tym celu liczyć nieoznaczonej.
Niech
\(\displaystyle{ \displaystyle{I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x }}\)
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x+\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x}}\)
i w drugiej z napisanych całek wykonajmy podstawienie \(\displaystyle{ t=6-x}\), co daje
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x+\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{6-t}}{\sqrt{t}+\sqrt{6-t}}\mbox{d}t}}\)
Teraz w tej drugiej całce (jest to zwykła oznaczona) przemianujmy sobie zmienną \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ x}\) i skorzystajmy z liniowości całki:
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}\mbox{d}x}}\)
Dalej chyba sobie poradzisz.
Aha, odpowiadając na Twoje pytanie: ponieważ napisana całka jest niewłaściwa, to najpierw musisz udowodnić, że jest zbieżna, a dopiero potem możesz z nieparzystości (po przesunięciu) coś wnioskować o jej wartości.
Niech
\(\displaystyle{ \displaystyle{I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x }}\)
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x+\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x}}\)
i w drugiej z napisanych całek wykonajmy podstawienie \(\displaystyle{ t=6-x}\), co daje
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6-x}+\sqrt{x}}\mbox{d}x+\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{6-t}}{\sqrt{t}+\sqrt{6-t}}\mbox{d}t}}\)
Teraz w tej drugiej całce (jest to zwykła oznaczona) przemianujmy sobie zmienną \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ x}\) i skorzystajmy z liniowości całki:
\(\displaystyle{ \displaystyle{2I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}\mbox{d}x}}\)
Dalej chyba sobie poradzisz.
Aha, odpowiadając na Twoje pytanie: ponieważ napisana całka jest niewłaściwa, to najpierw musisz udowodnić, że jest zbieżna, a dopiero potem możesz z nieparzystości (po przesunięciu) coś wnioskować o jej wartości.