Matematyka.pl

Za pomocą rozwinięcia w szereg obliczyć następującą całkę

\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{x^{a-1}}{1+x}dx \hspace{10mm} (0<a<1)}}\)

Wskazówka: rozbić całki na dwie w przedziałach \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [1, \infty).}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}\mbox{d}x=\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}}{1+x}\mbox{d}x+\int_{1}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}\mbox{d}x\\=\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}}{1+x}\mbox{d}x+\int_{1}^{\infty}\frac{x^{a-2}}{1+x^{-1}}\mbox{d}x}}\)
Teraz w tej drugiej całce podstawiamy \(\displaystyle{ t=x^{-1}}\) i mamy dalej:
\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}}{1+x}\mbox{d}x+\int_{0}^{1}\frac{t^{-a}}{1+t}\mbox{d}t\\=\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{a-1+n}\right)\mbox{d}x+\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{-a+n}\right)\mbox{d}t\\=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\int_{0}^{1}x^{a-1+n}\mbox{d}x\right)+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\int_{0}^{1}t^{-a+n}\mbox{d}t\right)\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{a+n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{-a+n+1}}}\)
i teraz dobrze byłoby wiedzieć, jakie własności funkcji specjalnych znasz. Ostatecznie można też pokombinować z szeregami Fouriera, ale to raczej nie będzie prostsze.


Umiem to policzyć znacznie, znacznie szybciej (trywialne podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{x}{1+x}}\)) tak, że natychmiast wychodzi \(\displaystyle{ \mathrm{B}(a, 1-a)}\). Chyba specjalnie narzucono jakąś okrężną metodę, żeby poznęcać się nad studentem.
Istota sprawy tkwi w tym, że możemy tu zamienić kolejność sumowania i całkowania. Można tu postąpić na kilka sposobów, na przykład powołać się na twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej w odpowiedniej wersji.

Nie umiałem dobrać dobrej funkcji do Fouriera, ponieważ jestem żadnym matematykiem, więc gdyby ktoś był zainteresowany, to tutaj: https://math.stackexchange.com/questions/714482/prove-that-gammap-times-gamma1-p-frac-pi-sin-p-pi-forall-p-in
jest pokazane, jaką funkcję rozwinąć w szereg, idę sobie popłakać w kąciku.

Podtrzymuję swoją opinię, że ten narzucony sposób to chyba najmniej rozsądna metoda obliczania tej całki: długa, po drodze trzeba mieć pomysły z kosmosu (albo to ja jestem taki głupi i widząc jakieś \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n^2-a^2}}\) nie mam żadnego rozsądnego skojarzenia poza tym, że w 2016 był taki wątek z \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2+a^2}}\) i tam Dasio11 wyjaśnił), a do tego dosyć żmudna.