Obliczyc pochodną całki

[mmss]

Cześć, jak taką operacje wykonać. Bardzo niezwyczajne dla mnie jest to sformułowanie ale to pewnie dlatego bo się z tym nie spotkałem.

Polecenie to, obliczyć \(\displaystyle{ f^{'}(x)}\) gdy \(\displaystyle{ f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x^2+1}} \sin (t^2) dt}\)

Dziękuję za pomoc.

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie ustaloną funkcją pierwotną dla \(\displaystyle{ \sin(t^2)}\), wówczas
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{x}^{\sqrt{x^2+1}} \sin(t^2) \,\dd t=F\left( \sqrt{x^2+1}\right)-F(x)}\)
z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego. Dalej pochodną liczysz po prostu ze wzoru na pochodną funkcji złożonej (no i ze wzoru na pochodną sumy/różnicy).

[mmss]

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie ustaloną funkcją pierwotną dla \(\displaystyle{ \sin (t^2)}\), wówczas
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{x}^{\sqrt{x^2+1}} \sin (t^2) \,\dd t=F\left( \sqrt{x^2+1}\right)-F(x)}\)
z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego. Dalej pochodną liczysz po prostu ze wzoru na pochodną funkcji złożonej (no i ze wzoru na pochodną sumy/różnicy).

Czy dobrze zrozumiałem, iż konieczne jest obliczenie całki nieoznaczonej z \(\displaystyle{ \sin (t^2)}\)? Nawet wolphram daje dziwny wynik.

[a4karo]

Nie. Znajomość tej funkcji nie jest Ci do niczego potrzebna. Ważne, że wiesz czym jest jej pochodna.
Powinieneś do końca zrobić to, co zalecił Premislav:

Dalej pochodną liczysz po prostu ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

[mmss]

Ok wiem że skoro \(\displaystyle{ F}\) to funkcja pierwotna \(\displaystyle{ sin(t^2)}\) to mamy , \(\displaystyle{ F^{'} = sin(t^2)}\). W takim razie skoro \(\displaystyle{ f(x) =F\left( \sqrt{x^2+1}\right)-F(x)}\) to pochodna \(\displaystyle{ f(x)}\) to \(\displaystyle{ f^{'}(x) = (F\left( \sqrt{x^2+1}\right)-F(x))^{'} = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} \cdot (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \sin(x^2+1)-\sin(x^2)}\). Czy dobrze kombinuje ?

[Premislav]

Tak.