Objętość bryły ograniczonej walcem i sferą

[aneta909811]

Mam obliczyć objętość bryły ograniczonej walcem \(\displaystyle{ x^2-2x+y^2=0}\) i sferą \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4.}\)

Mam problem z policzeniem całek. Po drodze wychodzą mi jakieś \(\displaystyle{ \arcsin(...)}\). Gdy próbuję ze współrzędnymi biegunowymi przesuniętymi, to też nie jest wesoło.

[janusz47]

Jakie to są całki ?

[aneta909811]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{- \sqrt{2x-x^2} }^{ \sqrt{2x-x^2} }\int_{- \sqrt{4-x^2-y^2} }^{ \sqrt{4-x^2-y^2} } \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} 2r \sqrt{3-r^2-2r \cos \phi} \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

[janusz47]

Rysunek

\(\displaystyle{ |V| = \int\int\int_{(V)}1 dxdydz .}\)

Do opisu obszaru

\(\displaystyle{ (V): \begin{cases}x^2+y^2+z^2 <4\\ (x-1)^2 +y^2 < 1\end{cases}}\)

użyjemy współrzędnych walcowych:

\(\displaystyle{ F: (r, \theta, z) \rightarrow ( r\cos(\theta), r\sin(\theta, z)}\)

\(\displaystyle{ F'(r, \theta, z) = r.}\)

Parametryzacja podstawy walca

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2} , \ \ 0 < r < 2\cos(\theta).}\)

Parametryzacja wysokości \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ z^2 < 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2, \ \ -\sqrt{4-r^2} < z < \sqrt{4 -r^2}.}\)

Objętość obszaru zawartego między sferą a jednostkowym walcem

\(\displaystyle{ |V| = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{2\cos(\theta)}r dr \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} dz.}\)

\(\displaystyle{ |V| =2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{2\cos(\theta)} r\sqrt{4-r^2}dr.}\)

Całkę wewnętrzną

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{0}^{2\cos(\theta)} r\sqrt{4-r^2} dr}\)

obliczamy podstawieniami

\(\displaystyle{ s = \sqrt{4-r^2}, \ \ s^2 = 4 - r^2, \ \ 2sds = -2rdr, \ \ rdr = -sds}\)


\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{2}^{2\sin(\theta)} -s^2 ds = \left[ \frac{1}{3}s^3\right]_{2\sin(\theta)}^{2}= \left[\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\sin^3(\theta)\right] = \frac{8}{3}\left( 1 - \sin^3(\theta).}\)

\(\displaystyle{ |V| = \frac{16}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ( 1 - |\sin^3(\theta)|)d\theta}\)

Ostatnią całkę przedstawiamy jako sumę dwóch całek:

\(\displaystyle{ |V| = \frac{16}{3} \left [ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 1 + \sin^3(\theta) )d\theta + \int_{0}^\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^3(\theta)) d\theta \right] .}\)

Całkę nieoznaczoną z funkcji \(\displaystyle{ \sin^3(\theta)}\) obliczamy, korzystając z tożsamości:

\(\displaystyle{ \sin^3(\theta) = \sin^2(\theta)\cdot \sin(\theta) = [1- \cos^2(\theta)] \cdot \sin(\theta)}\)

przez podstawienia:

\(\displaystyle{ t = \cos(\theta) \ \ dt = -\sin(\theta)d\theta.}\)

Proszę dokończyć zadanie.