Stosując współrzędne biegunowe, obliczyć objętość bryły

[Zacny_Los]

Stosując współrzędne biegunowe, obliczyć objętość bryły ograniczonej warunkami:
\(\displaystyle{ 0 \le z \le \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, 2x \le x^{2}+y^{2} \le 4, x \ge 0, y \ge 0}\)

Otrzymuję okręgi
\(\displaystyle{ S(1,0), R=1; S(0, 2), R=2}\).

Całka będzie:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-0 dxdy}\) na obszarze wyznaczonym przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2; 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}; \left| J \right| = r}\)

I właśnie - wyznaczenie obszaru.
Jeśli mam przejść do współrzędnych biegunowych to wystarczą powyższe ograniczenia, nie muszę wyznaczać brzegów funkcji w formie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i potem zamieniać? Pozostaje tylko zamienić wartości w całce na biegunowe?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)

Nie bo nie całkuje po całym kole tylko po jego wycinku. Ograniczenie na \(\displaystyle{ r}\) znajdziesz podstawiając współrzędne do \(\displaystyle{ 2x \le x^{2}+y^{2} \le 4}\) co daje \(\displaystyle{ 2r\cos \alpha \le r^2 \le 4}\) a to upraszcza się do \(\displaystyle{ 2\cos \alpha \le r \le 2}\)

[Zacny_Los]

Ach, rzeczywiście. Czyli wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }d \alpha \int_{2\cos \alpha }^{2} \sqrt{4-r^{2}} r dr}\)?

[Janusz Tracz]

tak