Zastosować całkę podwójną do obliczenia pola obszaru

[Zacny_Los]

Zastosować całkę podwójną do obliczenia pola obszaru \(\displaystyle{ D=\left\{ \left( x, y \right) \in \RR^{2}: x^{2} + y^{2} \le 3y, y \le \sqrt{3}x \right\}}\).

Otrzymałem dwa punkty w których przecinają się krawędzie obszaru:
\(\displaystyle{ \left( 0,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{3 \sqrt{3} }{4}, \frac{9}{4} \right)}\). Jedną z krawędzi jest \(\displaystyle{ y= \sqrt{3}x}\), a tą drugą? Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) z równania okręgu?

[Premislav]

Myślę, że znacznie wygodniej byłoby przejść na zmodyfikowane (w stosunku do klasycznej wersji) współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r\cos \theta, \ y-\frac 3 2=r\sin \theta}\)

[Zacny_Los]

A jak się robi takie zmodyfikowane podstawienie? )
Pytam, bo gdyby \(\displaystyle{ y=r \sin \theta}\), to \(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}}\).

Będzie: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{3}{2}}\), \(\displaystyle{ |J|=r}\), a co z kątem?-- 27 cze 2019, o 23:19 --A nie można \(\displaystyle{ x=r\cos \theta, y=r\sin \theta, 0 \le r \le \frac{3}{2}, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}}\)?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{3} } d\theta \int_{0}^{ \frac{3}{2} } r dr}\)?

[Premislav]

no nie bardzo jak na mój gust.
Jeśli nie chcesz liczyć z przesunięciem, to
ograniczenia wyjdą takie:
\(\displaystyle{ r^2\le 3r\sin \theta, \ r\sin \theta\le \sqrt{3}r\cos \theta}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0<r\le 3\sin \theta, \ \sin\left( \frac \pi 3-\theta\right)\ge 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ hetain left[ 0, frac pi 3
ight] cupleft[ frac 4 3pi, 2pi
ight)}\), ale w tym drugim przedziale sinus jest niedodatni, więc odrzucamy (bo nie może być \(\displaystyle{ r\le \text{ coś ujemnego }}\))
i mamy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac \pi 3} \int_{0}^{3\sin \theta}r\,\dd r\,\dd \theta}\)-- 27 cze 2019, o 23:15 --A w sumie z przesuniętymi to jakiś smrut (pisownia celowa) wychodzi, tak że sorry, powinienem najpierw sprawdzić, ale mi się nie chciało, bo za ciepło. xD