pole płata wyciętego walcami

[rivit]

Obliczyć pole płata wycietego walcem: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2}\) z walca \(\displaystyle{ x^2+z^2=R^2}\)


Obszarem calkowania będzie okrąg, czyli można zastosować wspolrzedne biegunowe.
powierzchnia ograniczająca ma równanie \(\displaystyle{ z = \sqrt{R^2 - x^2}}\). Skorzystam z symetrii i policze pole płata nad plaszczyzna OX i pomnoze razy \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial y} = 0 \\
\frac{ \partial z}{ \partial x} = \frac{-x}{ \sqrt{R^2-x^2} }}\)

Wzorek na pole całkowite będzie:
\(\displaystyle{ 2 \iint_{S} \sqrt{1+ \frac{x^2}{R^2-x^2} } \mbox{d}S = 2 \iint_{S} \frac{R}{ \sqrt{R^2-x^2} }\mbox{d}S}\)
gdzie \(\displaystyle{ S}\) to okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\).

przechodze na biegunowe:


\(\displaystyle{ 2R \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{R} \frac{r}{ \sqrt{R^2-r^2 \cos ^2 \phi} } \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

Jak to policzyć? Coś chyba namieszałem bo ta całka na końcu jakaś nieprzyjemna.

Pozdrawiam

[Kordyt]

Wg mnie ta calka wlasnie sie bardzo przyjemnie policzy. Po r scalkowac jest bardzo łatwo. Zrób sobie podstawienie \(\displaystyle{ t=R^2-r^2\cos^2\varphi}\)

[rivit]

\(\displaystyle{ 2R \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{R} \frac{r}{ \sqrt{R^2-r^2 \cos ^2 \phi} } \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

podstawiam \(\displaystyle{ t = R^2-r^2\cos ^2\phi}\)
granice całkowania:
\(\displaystyle{ r = 0 \Leftrightarrow t = R^2 \\ r= R \Leftrightarrow t = R^2\sin ^2\phi}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} dt = r \ \cos ^2\phi dr}\)

Po wstawieniu
\(\displaystyle{ -R \int_{0}^{2 \pi } \int_{R^2}^{R^2\sin ^2\phi} t^{-1/2} } \cos ^2\phi \mbox{d}t \mbox{d}\phi =
-2R \int_{0}^{2 \pi } \cos ^2\phi \left( R\sin \phi - R\right) \mbox{d}\phi =
-2R^2 \int_{0}^{2 \pi } \cos ^2\phi \left( \sin \phi - 1\right) \mbox{d}\phi}\)
Wolfram mówi, że pierwsza całka z \(\displaystyle{ \cos ^2\phi \sin \phi}\) wynosi zero, więc

\(\displaystyle{ 2R^2 \int_{0}^{2 \pi } \cos ^2\phi \mbox{d}\phi = 2 \pi R^2}\)

Problem w tym, że rzekoma odpowiedź mówi \(\displaystyle{ 8R^2}\)

Widzi ktoś może jakiś błąd? :/

[Kordyt]

Źle jest to podstawione.

Pokaż jak liczyłeś.

Dalsze rachunki też zawierają błędy - od kiedy cosinus na liczbach rzeczywistych osiąga wartość \(\displaystyle{ \pi}\) ?

[rivit]

Chyba edytowałem post gdy napisałeś, w którym miejscu mam błąd?

[Kordyt]

Już przy podstawieniu różniczki \(\displaystyle{ dt}\)
cosinus kwadrat powinien być w mianowniku.