Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
sportowiec1993
Użytkownik
Posty: 202 Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska
Podziękował: 5 razy
Post
autor: sportowiec1993 » 19 cze 2019, o 23:43
Dzień dobry,
mam problem ze zrozumieniem fragmentu rozwiązania poniższego zadania (tutaj link:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Example_6
).
W skrócie chodzi o policzenie całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi}e^{cos \theta}\cos \left(\sin \theta\right) \mbox{d}\theta}\)
i wprowadzona zostaje zmienna dodatkowa
\(\displaystyle{ \varphi}\)
Część, której nie rozumiem jest następująca:
całka
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi}e^{\varphi cos \theta}\left(\cos \theta \cos\left( \varphi \sin \theta \right) -\sin \theta \sin\left( \varphi \sin \theta \right)\right) \mbox{d}\theta}\)
jest całką liniową
\(\displaystyle{ F\left( x,y\right) =\left( e^{\varphi x} \sin\left( ty\right), e^{\varphi x} \cos\left( ty\right) \right)}\) po kole jednostkowym.
Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć, skąd ta ostatnia teza? Skąd nagle wprowadzenie zmiennej t?
janusz47
Użytkownik
Posty: 7910 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy
Post
autor: janusz47 » 20 cze 2019, o 09:55
Wprowadzono dwa podstawienia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \cos(\phi) \\ y = \sin(\phi) \end{cases},}\)
\(\displaystyle{ \phi \in [0, 2\pi],}\)
które są równaniami parametrycznymi jednostkowego koła.
Kąt \(\displaystyle{ \phi}\) w argumentach sinusa i kosinusa zamieniono na \(\displaystyle{ t.}\)
Można stosować dla przejrzystości zapisu takie podstawienie.