Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x\sin 2x}{e ^{2x} }}\)
Zbieżność całek
-
Izab321
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
Zbieżność całek
Ostatnio zmieniony 19 cze 2019, o 12:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Zbieżność całek
Całkę pierwszą można podzielić na przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) gdzie jest skończona jako, że jest tam ciągła i dobrze określona a na przedziale \(\displaystyle{ left[ 1, infty
ight)}\) szacujemy przez \(\displaystyle{ \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} }
\le \frac{1}{x^3}}\) co daje zbieżność z kryterium porównawczego.
Natomiast ta druga szacuje się od razu:
\(\displaystyle{ \left| \int_{0}^{ \infty } \frac{x\sin 2x \mbox{d}x }{e ^{2x} }\right| \le \int_{0}^{ \infty } \frac{x\mbox{d}x }{e ^{2x} }= \frac{1}{4}}\)-- 19 cze 2019, o 09:45 --Swoją drogą całkę dwa można po prostu policzyć nie jest to trudne nawet w przypadku nieoznaczonym całkowanie przez części daje wynik.
ight)}\) szacujemy przez \(\displaystyle{ \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} }
\le \frac{1}{x^3}}\) co daje zbieżność z kryterium porównawczego.
Natomiast ta druga szacuje się od razu:
\(\displaystyle{ \left| \int_{0}^{ \infty } \frac{x\sin 2x \mbox{d}x }{e ^{2x} }\right| \le \int_{0}^{ \infty } \frac{x\mbox{d}x }{e ^{2x} }= \frac{1}{4}}\)-- 19 cze 2019, o 09:45 --Swoją drogą całkę dwa można po prostu policzyć nie jest to trudne nawet w przypadku nieoznaczonym całkowanie przez części daje wynik.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Zbieżność całek
Pierwszą całkę można też po prostu bez dzielenia na przedziały oszacować przez
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\,\dd x}\) (zbieżną), gdyż
\(\displaystyle{ \frac{xe^{-x^2}}{(x^2+1)^2}\le xe^{-x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\,\dd x}\) (zbieżną), gdyż
\(\displaystyle{ \frac{xe^{-x^2}}{(x^2+1)^2}\le xe^{-x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).
-
Kordyt
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Zbieżność całek
Musisz sobie znaleźć majorantę której całka będzie zbieżna albo minorantę której całka będzie rozbieżna.
Zauważ, że \(\displaystyle{ |xe^{-x^2}| \le |x| < x^2+1}\)
A stąd
\(\displaystyle{ \left| \frac{xe^{-x^2}}{(x^2+1)^2} \right| < \left|\frac{x^2+1}{(x^2+1)^2}\right|=\frac{1}{x^2+1}}\)
Czy taką całkę można policzyć ? Jaki będzie wynik ?
Podobnie
\(\displaystyle{ \left|\frac{x \sin{2x} }{e^{2x}}\right|<\left|\frac{x}{e^{2x}}\right|=\left|xe^{-2x}\right|}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ |xe^{-x^2}| \le |x| < x^2+1}\)
A stąd
\(\displaystyle{ \left| \frac{xe^{-x^2}}{(x^2+1)^2} \right| < \left|\frac{x^2+1}{(x^2+1)^2}\right|=\frac{1}{x^2+1}}\)
Czy taką całkę można policzyć ? Jaki będzie wynik ?
Podobnie
\(\displaystyle{ \left|\frac{x \sin{2x} }{e^{2x}}\right|<\left|\frac{x}{e^{2x}}\right|=\left|xe^{-2x}\right|}\)
Ostatnio zmieniony 19 cze 2019, o 09:54 przez Kordyt, łącznie zmieniany 6 razy.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Zbieżność całek
Kordyt, znak \(\displaystyle{ \sin 2x}\) nie jest stały, więc w tym drugim przypadku to nie wystarcza. Natomiast można tutaj zbadać zbieżność bezwzględną, jak zresztą zaproponował Janusz Tracz.
-
Kordyt
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Zbieżność całek
Tak, wiem, jeszcze byłem w trakcie poprawianiaPremislav pisze:Kordyt, znak \(\displaystyle{ \sin 2x}\) nie jest stały, więc w tym drugim przypadku to nie wystarcza.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Zbieżność całek
Gdyby ktoś chciał liczyć całkę nieoznaczoną to
\(\displaystyle{ \int \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} } \mbox{d}x \\
=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\int{\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \right)\left( -2xe^{-x^2}\right) \mbox{d}x }\\
=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\int{\frac{xe^{-x^2}}{x^2+1} \mbox{d}x }\\
1+x^2=t\\
2x \mbox{d}x = \mbox{d}t\\
x \mbox{d}x =\frac{1}{2} \mbox{d}t\\
x^2=t-1\\
-x^2=1-t\\
\frac{1}{2}\int{\frac{e^{1-t}}{t} \mbox{d}t}\\
\frac{1}{2}e\int{\frac{e^{-t}}{t} \mbox{d}t}\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} } \mbox{d}x=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\frac{1}{2}e\mathrm{Ei}\left( -\left( x^2+1\right) \right)+C}\)
Oznaczona powinna wyjść zbieżna
\(\displaystyle{ \int \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} } \mbox{d}x \\
=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\int{\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \right)\left( -2xe^{-x^2}\right) \mbox{d}x }\\
=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\int{\frac{xe^{-x^2}}{x^2+1} \mbox{d}x }\\
1+x^2=t\\
2x \mbox{d}x = \mbox{d}t\\
x \mbox{d}x =\frac{1}{2} \mbox{d}t\\
x^2=t-1\\
-x^2=1-t\\
\frac{1}{2}\int{\frac{e^{1-t}}{t} \mbox{d}t}\\
\frac{1}{2}e\int{\frac{e^{-t}}{t} \mbox{d}t}\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{xe ^{-x ^{2} } }{(x ^{2}+1) ^{2} } \mbox{d}x=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{x^2+1}-\frac{1}{2}e\mathrm{Ei}\left( -\left( x^2+1\right) \right)+C}\)
Oznaczona powinna wyjść zbieżna