Całka oznaczona, chyba zbieżna

[koczurekk]

Omawiamy na studiach zbieżność całek i prowadząca dała nam taki przykład:
\(\displaystyle{ \int^{e^{-1}}_{0} \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{x} \log{x}}}\).

Mi wyszedł wynik \(\displaystyle{ Ei(-0.5)}\), tak samo Wolfram Alpha, z kolei prowadząca twierdzi że całka jest rozbieżna.

Ktoś wyjaśni o co chodzi? Ktoś z nas się myli, czy wygląda to na zwykle nieporozumienie?

Pozdrawiam,
Kamil

[karolex123]

Ta całka jest zbieżna. Dla małych \(\displaystyle{ x>0}\) jest \(\displaystyle{ \log \frac{1}{x}> \sqrt[4]{x}}\), więc \(\displaystyle{ 0> \frac{1}{\sqrt{x} \log x} =- \frac{1}{\sqrt{x} \log \frac{1}{x} }>- \frac{1}{ \sqrt[4]{x^3} }}\), a ostatnia całka jest zbieżna na \(\displaystyle{ (0, e^{-1})}\)

[koczurekk]

Ta całka jest zbieżna. Dla małych \(\displaystyle{ x>0}\) jest \(\displaystyle{ \log \frac{1}{x}> \sqrt[4]{x}}\), więc \(\displaystyle{ 0> \frac{1}{\sqrt{x} \log x} =- \frac{1}{\sqrt{x} \log \frac{1}{x} }>- \frac{1}{ \sqrt[4]{x^3} }}\), a ostatnia całka jest zbieżna na \(\displaystyle{ (0, e^{-1})}\)

Dzięki! Nierówność \(\displaystyle{ \log \frac{1}{x}> \sqrt[4]{x}}\) wyglądała na dosyć ezoteryczną ale udało mi się jej samemu dowieść dla \(\displaystyle{ x \in \left (0, \exp{\left (-4W\left (\frac{1}{4}\right ) \right )}\right ) \subset \left (0, e^{-1}\right )}\).