całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

całka podwójna

Post autor: Novy »

Obliczyć \(\displaystyle{ \int\int_{D}(x^{2} + y^{2})dxdy}\) gdzie D jest obszarem 1-szej ćwiartki układu 0XY ograniczonym krzywymi: \(\displaystyle{ xy=5, xy=10,y=\frac{x}{2}, y=2x}\)
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka podwójna

Post autor: scyth »

Obrazek wygasł

Zatem naszą całkę trzeba rozbić na trzy części:
1. od \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{10}}{2}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\)
2. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\)
3. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\) do \(\displaystyle{ x=2\sqrt{5}}\)

W każdym z nich będą inne granice całkowania. Dostajemy:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\\= \int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx + \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx + \int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx}\)

poszczególne całki:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx =
\int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \left(\frac{14x^3}{3}-5x-\frac{125}{3x^3} \right) dx = \frac{275}{24}}\)


\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx = \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \left( 5x+\frac{875}{3x^3} \right) dx = \frac{325}{12}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx =
\int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \left(-\frac{13x^3}{24}+10x+\frac{1000}{3x^3} \right) dx = \frac{425}{24}}\)


Zatem:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\frac{275}{24}+\frac{325}{12}+\frac{425}{24}=\frac{225}{4}}\)
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

całka podwójna

Post autor: luka52 »

Zamiast obliczać trzy całki, można obliczyć tylko jedną - stosując zamianę współrzędnych na biegunowe, wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\arctan \frac{1}{2}}^{\arctan 2} \, \mbox{d}\theta \int\limits_{\sqrt{\frac{10}{\sin 2 \theta}}}^{\sqrt{\frac{20}{\sin 2 \theta}}} \rho^3 \, \mbox{d}\rho}\)
Obliczenia wcale jakieś kosmiczne nie są
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: całka podwójna

Post autor: a4karo »

Temat został odkopany przez mola, ale myślę, że ze względów edukacyjnych warto do niego wrócić.

Otóż przez każdy punkt obszaru całkowania przechodzi dokładnie jedna hiperbola o równaniu \(\displaystyle{ xy=a,\ 5\le a\le 10}\) oraz dokładnie jedna prosta postaci \(\displaystyle{ y=bx, \ 1/2\le b\le 2}\).
To sugeruje, aby użyć takiej właśnie zamiany zmiennych \(\displaystyle{ (x,y)\to(a,b)}\)
Obszar całkowania staje się wtedy prostokątem i trzeba sie tylko trochę pobawić jakobianem.
Z \begin{cases}xy=a\\y=bx\end{cases}
dostajemy \(\displaystyle{ x^2=a/b}\) czyli \(\displaystyle{ x=a^{1/2}b^{-1/2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^2=ab}\) czyli \(\displaystyle{ y=a^{1/2}b^{1/2}}\).
Jakobian tego przekształcenia to
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}\frac{1}{2}a^{-1/2}b^{-1/2} & -\frac{1}{2}a^{1/2}b^{-3/2}\\\frac12 a^{-1/2}b^{1/2}&\frac12a^{1/2}b^{-1/2}\end{vmatrix}=\frac12b^{-1}}\)
I całą całka sprowadza się do

\(\displaystyle{ \frac12\int_{1/2}^{2}\int_{5}^{10} \left(\frac{a}{b}+ab\right)\frac1b dadb}\)
ODPOWIEDZ