Całka trygonometryczna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Całka trygonometryczna

Post autor: 85213 » 17 sty 2019, o 19:43

Mam do policzenia całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{\cos^5x \cdot \sin^3x} }}\)
Innego pomysłu, niż podstawienie uniwersalne nie mam, a rachunki nie są zbyt przyjazne przy takim podstawieniu. Zna ktoś może jakieś sprytniejsze podstawienie/sprytniejszy sposób na policzenie tej całki?

Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Całka trygonometryczna

Post autor: Unforg1ven » 17 sty 2019, o 20:16

Istnieje "sprytny" sposób na policzenie tej całki.
Mamy (przy odpowiednich założeniach)
\(\displaystyle{ \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\tg (x)}\) (1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^2(x)}=\tg ^2(x)+1}\) (to wynika prosto z jedynki trygonometrycznej) (2)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \cos ^{5/2}x \cdot \sin ^{3/2}x}= \int_{}^{} \frac{1}{ \cos ^{2}(x)} \frac{\frac{1}{\cos ^{2}x}dx}{ \tg ^{3/2} x}}\)
Teraz korzystam z (2) tak ażeby móc podstawić \(\displaystyle{ t=\tg x}\) (3)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1} {\cos ^2(x)}\frac{\tg ^2(x)+1 }{\tg ^{3/2}(x)}dx}\)
Dalej korzystasz z (3) i prosto.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ