Całka z tangesem w mianowniku
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka z tangesem w mianowniku
Chce obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi /2} \frac{1}{1+\tan^{p}(x)}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi /2} \frac{1}{1+\tan^{p}(x)}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Do całki podstawmy \(\displaystyle{ x=t+ \frac{\pi}{4}}\) co dało by
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \mbox{d}x }{1+\tan^{p}(x)}=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{ \mbox{d}t }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}=}\)
a potem dodajmy i odejmiemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) od całej tej funkcji co zapiszemy dalej
\(\displaystyle{ =\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t+\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{1}{2} \mbox{d}t}\)
teraz zastanów się co ciekawego możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t}\) a dokładnie o przedziale całkowania oraz funkcji podcałkowej...
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \mbox{d}x }{1+\tan^{p}(x)}=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{ \mbox{d}t }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}=}\)
a potem dodajmy i odejmiemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) od całej tej funkcji co zapiszemy dalej
\(\displaystyle{ =\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t+\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{1}{2} \mbox{d}t}\)
teraz zastanów się co ciekawego możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t}\) a dokładnie o przedziale całkowania oraz funkcji podcałkowej...
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Nadal nie mam pomysłu, mógłbyś mi wytłumaczyć/lub dać jakaś dodatkową wskazówkę?Janusz Tracz pisze: teraz zastanów się co ciekawego możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t}\) a dokładnie o przedziale całkowania oraz funkcji podcałkowej...
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Pokaż że ta funkcja jest nieparzysta, zacznij od wspólnego mianowania i wzoru redukcyjnego dla tangensa. W razie problemów pisz śmiało.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Mimo wszystko powyższa wskazówka prowadzi do prostszego (i szybszego) rozwiązania.Kaf pisze:Podstaw \(\displaystyle{ u:= \frac{\pi}{2} - x}\) i coś zauważ.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
370344.htmluka52 pisze:Jeśli powyższa całka to \(\displaystyle{ I(p)}\), to nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ I'(p) = 0}\) (bo wtedy pod całką jest funkcja nieparzysta względem środka przedziału całkowania). Samą zaś wartość najłatwiej jest wyznaczyć gdy \(\displaystyle{ p = 0}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Skoro rozwiązanie już się pojawiło to przedstawię swoje podejście bez wykorzystania pochodnych
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Całka z tangesem w mianowniku
Dzięki to jest genialne w swojej prostocie rozwiązanie. (Mówię o obu rozwiązaniach)